PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES - RESPUESTA DEL EJERCICIO 2.

Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un número real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dos sucesos se tiene P(E₁) + P(E₂) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. También se dice que E₁ y E₂ son mutuamente excluyentes.
Considerando lo dicho en el párrafo anterior, tenemos :



Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjunción con B o en conjunción con el complementario de B. Por tanto, tendremos según el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, ••• , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) = P(A) + P(B) + ••• + P(N)

y de esta expresión podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :



de donde, por sustitución :



y análogamente :



Finalmente, como los cuatro pares de sucesos son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :



y sustituyendo los valores conocidos



Este último resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:



El requisito de la factorización se satisface, por tanto, en todos los casos.