PROBLEMAS RESUELTOS
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Ejercicios de probabilidades
 

PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2.

Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un número real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dos sucesos se tiene P(E1) + P(E2) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. También se dice que E1 y E2 son mutuamente excluyentes.
Considerando lo dicho en el párrafo anterior, tenemos :

    \( P(\bar{A}) = 1- P(A) = 1-a\; ; \;(\bar{B}) = 1- P(B) = 1- b \)
Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjunción con B o en conjunción con el complementario de B. Por tanto, tendremos según el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, ••• , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) = P(A) + P(B) + ••• + P(N)

y de esta expresión podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :

    \( P(A) = P(A \cap S) = P[A \cap (B \cup \bar{B})] = \)
    \( = P[(A\cap B)\cup (A\cap \bar{B})] = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) \)
de donde, por sustitución :

    \( a = a·b + P(A \cap \bar{B})\; ; \;P(A \cap \bar{B})= a - a·b = a(1-b)= P(A)·P(\bar{B}) \)
y análogamente :

    \( P(B) = P(A\cap B) + P(\bar{A}\cap B)\; ; \; b = a·b + P(\bar{A}\cap B) \Rightarrow \)
    \( \Rightarrow P(\bar{A}\cap B)= (1-a)b = P(\bar{A})·P(B) \)
Finalmente, como los cuatro pares de sucesos \(A\cap B\; ; \; A\cap \bar{B}\; ; \;\bar{A}\cap B\; ; \;\bar{A}\cap \bar{B} \) son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :

    \( P(A\cap B)+ P(A\cap \bar{B}) + P(\bar{A}\cap B) + P(\bar{A}\cap \bar{B}) = 1 \)
y sustituyendo los valores conocidos

    \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - a·b - a(1-b) - (1-a)b = \)
    \( = 1 - a(b+1-b)- (1-a)b = (1-a)·(1-b) = P(\bar{A})·P(\bar{B}) \)
Este último resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:

    \( P(\bar{A}) = P(\bar{A}\cap B) + P(\bar{A}\cap \bar{B}) \; ; \; 1 - a = (1-a)b + P(A\cap B) \Rightarrow \)
    \( P(\bar{A}\cap \bar{B}) = (1-a)(1-b) = P(\bar{A})·P(\bar{B}) \)
El requisito de la factorización se satisface, por tanto, en todos los casos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
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tema escrito por: José Antonio Hervás