PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2.

Uno de los axiomas básicos de la teoría de la probabilidad enuncia : La probabilidad P(E) de un suceso E es un número real comprendido entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0 y la de un suceso seguro, l ; en general si para dos sucesos se tiene P(E1) + P(E2) = 1 , decimos que E1 y E2 son sucesos complementarios uno del otro. También se dice que E1 y E2 son mutuamente excluyentes.
Considerando lo dicho en el párrafo anterior, tenemos :

    \( P(\bar{A}) = 1- P(A) = 1-a\; ; \;(\bar{B}) = 1- P(B) = 1- b \)
Pero el suceso A solo puede ocurrir de dos formas mutuamente excluyentes : en conjunción con B o en conjunción con el complementario de B. Por tanto, tendremos según el teorema que nos da la probabilidad total para sucesos mutuamente excluyentes, y cuyo enunciado es :

Si A , B, ••• , N son sucesos mutuamente excluyentes, entonces :

P(A ∪ B ∪ ••• ∪ N) = P(A) + P(B) + ••• + P(N)

y de esta expresión podemos deducir (siendo S el Suceso seguro) :

    \( P(A) = P(A \cap S) = P[A \cap (B \cup \bar{B})] = \)
    \( = P[(A\cap B)\cup (A\cap \bar{B})] = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) \)
de donde, por sustitución :

    \( a = a·b + P(A \cap \bar{B})\; ; \;P(A \cap \bar{B})= a - a·b = a(1-b)= P(A)·P(\bar{B}) \)
y análogamente :

    \( P(B) = P(A\cap B) + P(\bar{A}\cap B)\; ; \; b = a·b + P(\bar{A}\cap B) \Rightarrow \)
    \( \Rightarrow P(\bar{A}\cap B)= (1-a)b = P(\bar{A})·P(B) \)
Finalmente, como los cuatro pares de sucesos \(A\cap B\; ; \; A\cap \bar{B}\; ; \;\bar{A}\cap B\; ; \;\bar{A}\cap \bar{B} \) son exhaustivos su probabilidad total es la unidad, y como son mutuamente excluyentes, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo :

    \( P(A\cap B)+ P(A\cap \bar{B}) + P(\bar{A}\cap B) + P(\bar{A}\cap \bar{B}) = 1 \)
y sustituyendo los valores conocidos

    \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - a·b - a(1-b) - (1-a)b = \)
    \( = 1 - a(b+1-b)- (1-a)b = (1-a)·(1-b) = P(\bar{A})·P(\bar{B}) \)
Este último resultado se puede obtener siguiendo el mismo proceso que en los dos primeros, es decir:

    \( P(\bar{A}) = P(\bar{A}\cap B) + P(\bar{A}\cap \bar{B}) \; ; \; 1 - a = (1-a)b + P(A\cap B) \Rightarrow \)
    \( P(\bar{A}\cap \bar{B}) = (1-a)(1-b) = P(\bar{A})·P(\bar{B}) \)
El requisito de la factorización se satisface, por tanto, en todos los casos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
primero - : - anterior - : - siguiente


tema escrito por: José Antonio Hervás