Problemas y ejercicios resueltos de cálculo de probabilidades y variables aleatorias. Respuesta del ejercicio uno

Altube y Vitoria son dos estaciones metereológicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(A

V) = 0, 28. Determínense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), así como la probabilidad total P(A

V). ¿Son independientes A y V?

RESPUESTA 1.

Para obtener las probabilidades condicionadas aplicamos la expresión

P(AB) = P(A) • P(B/A) = P(B) • P(A/B )

que en nuestro caso será

Para obtener la probabilidad total consideramos

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

con lo que resultará

P(AV) = P(A) + P(V) – P(AV)= 0, 40 + 0, 40 - 0, 28 = 0, 52

Se dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionales respectivas. La definición formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla

P(B/A) = P(B) ; P(A/B) = P(A)

Por consiguiente, teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa :

P(ABC•••MN) =
P(A)•P(B/A)•P(C/AB) ••• P(N/ABC•••M)

podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simétrica

P(AB) = P(A)•P(B).

En nuestro caso resulta fácil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene :

P(A/V) P(A) ; P(V/A) P(V) P(AV)P(A)•P(V)