PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 47

Desarrollamos la descomposición de \( \phi(x) \):

    \(\begin{array}{l} \phi(x) = \\ \\ = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = \\ \\ = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1(2x_2 +2x_3) - 4 x_2x_3 =\\ \\= \left[x_1 - 2\left(x_2 + x_3\right)\right]^2 - 4\left(x_2 + x_3\right)^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4 x_2x_3 \\ \\= f_1^2 - 4x_2^2 - 4x_3^2 - 8 x_2x_3 + x_2^2 + x_3^2 - 4x_2x_3 =\\ \\= f_1^2 - 3x_2^2 - 3x_3^2 - 12 x_2x_3 = f_1^2 - 3x_2^2 - 12x_3^2 -\\ \\- 12 x_2x_3 + 9x_3^2 = f_1^2 - 3(x_2 + 2x_3)^2 + 9x_3^2 \end{array} \)

Según eso, las formas lineales independientes que se obtienen en la descomposición serán:

    \(f_1 = x_1 - 2x_2 - 2x_3 \quad ; \quad f_2 = x_2 + 2x_3 \quad ; \quad f_3 = x_3 \)

Puesto que estamos en R3 , su espacio dual tendrá dimensión 3 y, por tanto, \(\{f_1, f_2, f_3\} \) es una base de \(R_3^* \). Calculamos una base de vectores conjugados dos a dos. Siendo \(\{e_1, e_2, e_3\} \) esta base, habrá de cumplir:
    \(\begin{array}{l} f_1(e_1) = x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 1 \quad ; \\ f_2(e_1) = x_2 + 2x_3 = 0 \quad ; \quad f_3(e_1) = x_3 = 0 \end{array}\)

Y desarrollando: \( x_1 = 1 \; ; \; x_2 = 0 \; ; \; x_3 = 0 \)

de igual forma:

    \(\begin{array}{l} f_1(e_2) = x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 0 \quad ; \\ f_2(e_2) = x_2 + 2x_3 = 1 \quad ; \quad f_3(e_2) = x_3 = 0 \end{array}\)

Y desarrollando de nuevo: \( x_1 = 2 \; ; \; x_2 = 1 \; ; \; x_3 = 0 \)

Finalmente:

    \( \begin{array}{l} f_1(e_3) = x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 0 \quad ; \\  \\ f_2(e_3) = x_2 + 2x_3 = 0\quad ; \quad f_3(e_3) = x_3 = 1 \end{array} \)

Lo que nos da:\( x_1 = - 2 \; ; \; x_2 = -2 \; ; \; x_3 = 1 \)

Con todo ello, los vectores buscados serán:

    \(e_1 = (1, 0, 0) \quad ; \quad e_2 = (2, 1, 0) \quad ; \quad e_3 = (-2, -2, 1) \)

Considerando la descomposición en cuadrados, la matriz de la forma cuadrática será:

    \( \Omega = M[\phi(e_1, e_2, e_3)] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\)

Y puesto que el determinante es distinto de 0, resulta:

    \( r( \Omega) = r(\phi) = 3 = dim \; R^3 \Rightarrow \phi \; \) no degenerada

Por otro lado, la diagonal principal dos elementos con signo positivo y un elemento con signo negativo, por lo tanto la signatura de \( \phi \) es \( sig \, (\phi) = (2, 1) \neq (n, 0) \) y la forma no es definida ni positiva

EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás