PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 46

Consideremos que el espacio vectorial E tiene dimensión n. Sea \( \phi \) una forma cuadrática sobre E y \( \varphi \) su forma polar asociada.

El método de Gauss nos proporciona una descomposición en cuadrados de formas lineales independientes, es decir:
    \(\phi = \lambda_1 \, f_1^2 + иии + \lambda_r \, f_r^2 \Rightarrow \{f_1, иии , f_r\} \)

formas lineales independientes

Por el teorema de la base incompleta podemos ampliar el conjunto podemos ampliar el conjunto \( \{f_1, иии, f_r\} \in E^* \) hasta formar una base de E*: \(\{f_1, иии, f_p, f_{r+1}, иии, f_n\} \)

Sea ahora \(\{e_1, иии, e_n\} \) la base dual de la anterior; cualquier elemento de E, se puede poner como combinación lineal de los elementos de esta base:

    \( \displaystyle x = \sum_i^nx_i \, e_i \qquad : \qquad y = \sum_i^n y_j \, e_j\)

Y considerando la forma bilineal:
    \(\begin{matrix} \varphi(x, y) = \frac{1}{2}\left[\phi(x+y) - \phi(x) - \phi(y)\right] = \\ = \displaystyle \frac{1}{2}\left[\sum_i^r \lambda_i f_i^2(x+y) - \sum_i^r \lambda_i f_i^2(x) - \sum_i^r \lambda_i f_i^2(y)\right] = \\ = \displaystyle \frac{1}{2}\sum_i^r \lambda_i\left\{\left[f_i(x+y)\right]^2 - \left[f_i(x)\right]^2 - \left[f_i(y)\right]^2 \right\} \end{matrix} \)

Sumando y restando a la anterior expresión contenida en la llave el término \( 2\, f_i(x) и f_i(y) \), resulta:

    \(\displaystyle \varphi(x, y) = \frac{1}{2}\sum_i^r \lambda_i\left[2 \, f_i(x) и f_i(y)\right] = \sum_i^r \lambda_if_i(x) и f_i(y) \)

De ese mdo, considerando para dos vectores cualesquiera de la base \(\{e_1, иии, e_n\} \), tenemos

    \(\varphi(e_j, e_k) = \displaystyle \sum_i^r \lambda_i \, f_i(e_j) f_i(e_k) = \sum_i^r \lambda_i \, \delta_{ji} \delta_{ki} = \left\{ \begin{array}{l} k = j = i = \lambda_k \\ \\k \neq j = 0 \end{array}\right. \)

y, por lo tanto, \(\{e_1, иии, e_n\} \) es una base de vectores conjugados dos a dos

EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás