PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 48

Podemos poner:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \phi(x) = x_1^2 - x_1(x_2 + x_3) + x_2^2 + x_3^2 - x_2x_3 = \\ \\ = \left[x_1 - \frac{1}{2}\left(x_2 + x_3\right)\right]^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_2x_3 = \\ \\ = f_1^2 - \frac{1}{4}x_2^2 - \frac{1}{4}x_3^2 - \frac{1}{2}x_2x_3 + x_2^2 + x_3^2 - x_2x_3= \\ \\ = f_1^2 + \frac{3}{4} x_2^2 + \frac{3}{4} x_3^2 - \frac{3}{2} x_2x_3 = \\ \\ = f_1^2 + \frac{3}{4}\left(x_2^2 + x_3^2 - 2x_2x_3\right) = f_1^2 + \frac{3}{4}\left(x_2 - x_3\right)^2 \end{array} \)

Con lo que hemos obtenido:

    \(f_1 = x_1 - \frac{1}{2}x_2 - \frac{1}{2} x_3 \quad ; \quad f_2 = x_2 - x_3 \quad ; \quad f_3 = x_3 \)

Para calcular una base de vectores conjugados dos a dos, hacemos:

    \( \begin{array}{l} f_1(e_1) = x_1 - \frac{1}{2}x_2 - \frac{1}{2} x_3 = 1 \quad ; \\ \quad f_2(e_1) = x_2 - x_3 = 0 \quad ; \quad f_3(e_1) = x_3 = 0 \end{array}\)

Con lo que resulta: \(x_1 = 1 \; ; \; x_2 = 0 \; ; \; x_3 = 0 \)

Y haciendo de la misma forma para los otros dos vectores resulta que la base buscada es:

    \(e_1 = (1, 0, 0) \quad ; \quad e_2 = (1/2, 1, 0) \quad ; \quad e_3 = (1, 1, 1) \)

La matriz de la forma cuadrática, considerando la descomposición de Gauss, es:

    \( M(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Puesto que \( \phi \) es degenerada podemos decir que no es definida.

EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás