Ejercicio de matemáticas, enunciado 41

Demostrar que una forma bilineal antisimétrica φ , definida sobre un espacio vectorial E, verifica:

\(\forall \, x \; \in E \quad , \quad \varphi(x,x) = 0 \)

Deducir de aquí por qué es posible limitarse a las formas bilineales simétricas para engendrar formas cuadráticas.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 42

Sea E el espacio vectorial R3 referido a su base canónica \( \{e_1, e_2, e_3\} \) y f la forma bilineal definida por:

\(\begin{array}{l} f(x, y) = x_1y_1 + 6x_2y_2 + 56x_3y_3 - 2(x_1y_2 + x_2y_1) +\\ \\ + 7(x_1y_3 + x_3y_1) - 18(x_2y_3 + x_3y_2) \end{array} \)

Escribir la matriz de f en la base canónica. Escribir la matriz de f en la base \( \{e'_1, e'_2, e'_3\} \) que cumple:

\( e'_1 = e_1 \quad ; \quad e'_2 = 2e_1 + e_2 \quad ; \quad e'_3 = - 3e_1 + 2e_2 + e_3 \)

Dar la expresión de la forma cuadrática, q, asociada a f, respecto de cada una de las bases.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 43

En el espacio vectorial R3 se considera el polinomio cuadrático:

\( 2 \, x^2 - 2 \, y^2 - 6 \, z^2 + 7 \, yz - 4 \, xz + 3 \, xy\)

Determinar los vectores singulares, los vectores dobles y el rango.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 44

Sea E un espacio vectorial definido sobre un cuerpo conmutativo K. Se designa por S el conjunto de las formas bilineales simétricas y por A el de las formas bilineales antisimetricas. Demostrar que se cumple:

\(L_2(E, K) = S \oplus A \qquad (*) \)

Si E es de dimensión finita, ¿Cuáles son las dimensiones de S y A?.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 45

En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes complejos de grado menor o igual a n, se considera la aplicación:

\(\varphi \; : \; C_n[x] \times C_n[x] \quad \rightarrow \quad C \)

Definida en la forma:

\(\varphi (P, Q) = P(1) · Q(1)\)

Donde P(1) y Q(1) son los valores de los polinomios P(x) y Q(x) cuando x toma el valor 1.
Demostrar que φ es una forma bilineal simétrica sobre C_n[x]. ¿Cuál es el rango y el núcleo de φ?. Si se refiere a la base {1, x,…, xⁿ}, ¿Cuál es la matriz de φ?.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 46

Demostrar que el método de Gauss proporciona un método de construcción de una base de vectores conjugados dos a dos de un espacio vectorial E respecto de una forma bilineal simétrica.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 47

Sea \( \phi \) una forma cuadrática definida sobre R³ en la base canónica de la siguiente manera:

\(\phi(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) \)

Descomponer dicha forma en cuadrados de formas lineales por el método de Gauss. Encontrar una base de vectores conjugados dos a dos.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 48

Sea una forma cuadrática definida sobre R³ en la base canónica por la siguiente ecuación:

\(\phi (x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)\)

Descomponer la forma cuadrática dada por el método de Gauss y encontrar una base de vectores conjugados dos a dos.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 49

Sea la forma cuadrática definida en la base canónica sobre R³ por la siguiente relación:

\(\phi (x) = x_1x_2 + x_2x_3\)

Descomponer por el método de Gauss la forma cuadrática dada y obtener una base de vectores conjugados dos a dos.

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 50

Si la forma cuadrática \( \phi(x) \) viene dada en la base canónica por la matriz A:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 7\end{pmatrix}\)

Obtener la matriz D que proporciona la congruencia, es decir, una matriz tal que se cumpla la ecuación:

\( P\,^ t A P = D\)

¿En que base, la forma cuadrática viene dada por la matriz D?

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