Enunciado 37

Sea A una matriz de Mn(C) y B la traspuesta de la matriz de sus adjuntos (estas matrices verifican:



Demostrar que si v es un vector propio de A asociado al valor propio λ, existe un valor propio μ de B tal que v es un vector propio de B asociado a μ.

1º) siendo a inversible
2º) si B es no inversible y λ es distinta de cero.
3º) siendo λ = 0 raíz simple del polinomio característico de A.

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Enunciado 38

Sean f y g dos endomorfismos de un espacio vectorial E, de dimensión finita, que conmutan.
Demostrar que todo espacio propio de f es g-invariante. Demostrar, por recurrencia sobre la dimensión de E, que si g posee un vector propio, éste es común a f (evidentemente, f admite algún valor propio)

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Enunciado 39

Sea W un espacio vectorial. Supongamos que W es S-invariante y T-invariante; probar que W es (S+T)-invariante y (S•T)-invariante.

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Enunciado 40

CSea W un espacio vectorial. Supongamos que W es A-invariante; demostrar que W es f(A) – invariante, siendo f(t) un polinomio cualquiera. Estudiar si la matriz es dagonalizable.

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Enunciado 41

Demostrar que una forma bilineal antisimétrica φ , definida sobre un espacio vectorial E, verifica:



Deducir de aquí por qué es posible limitarse a las formas bilineales simétricas para engendrar formas cuadráticas.

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Enunciado 42

Sea E el espacio vectorial R3 referido a su base canónica {e1, e2, e3} y f la forma bilineal definida por:



Escribir la matriz de f en la base canónica. Escribir la matriz de f en la base {e’1, e’2, e’3} que cumple:



Dar la expresión de la forma cuadrática, q, asociada a f, respecto de cada una de las bases.

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Enunciado 43

En el espacio vectorial R3 se considera el polinomio cuadrático:



Determinar los vectores singulares, los vectores dobles y el rango.

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Enunciado 44

Sea E un espacio vectorial definido sobre un cuerpo conmutativo K. Se designa por S el conjunto de las formas bilineales simétricas y por A el de las formas bilineales antisimetricas. Demostrar que se cumple:



Si E es de dimensión finita, ¿Cuáles son las dimensiones de S y A?.

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Enunciado 45

En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes complejos de grado menor o igual a n, se considera la aplicación:



Definida en la forma:



Donde P(1) y Q(1) son los valores de los polinomios P(x) y Q(x) cuando x toma el valor 1.
Demostrar que φ es una forma bilineal simétrica sobre C_n[x]. ¿Cuál es el rango y el núcleo de φ?. Si se refiere a la base {1, x,…, xⁿ}, ¿Cuál es la matriz de φ?.

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