Problemas resueltos de Métodos Matemáticos - Respuesta DEL EJERCICIO 45

Para la primera cuestión hacemos:



Con los dos primeros resultados podemos decir que φ es bilineal y añadiendo el tercero, bilineal simétrica.

El núcleo de esta forma bilineal vendrá dado por:



Para saber el rango de la forma bilineal, podemos calcularlo por la expresión:



La dimensión de Cn[x] es n+1 por tratarse del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n.
Para calcular la dimensión de S hacemos:



No obstante, si el polinomio P pertenece al subconjunto S, resulta:



Puesto que hay una relación lineal entre los coeficientes del polinomio, podemos decir qe esta relación restringe en 1 los grados de libertad del subespacio S y, por consiguiente, Dim S = n. Así pues, finalmente, podemos poner:



También podemos calcular el rango de la forma bilineal calculando el rango de la matriz asociada, que viene dada por:



Para valores de i y j moviéndose entre o y n.
Desarrollando las anteriores expresiones tenemos:



Puesto que todos los elementos de la matriz son 1’s, todas las líneas serán combinación lineal entre si y la matriz tendrá rango 1.