PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 45

Para la primera cuestión hacemos:

    \( \begin{array}{l} \varphi(P_1+P_2, Q) = [P_1(1)+P_2(1)]Q(1) = P_1(1)Q(1) + P_2(1)Q(1) \\ \varphi (\lambda P,Q) = (\lambda P)(1)Q(1)= \lambda P(1)Q(1) = \lambda\varphi(P,Q) \\ \varphi (P,Q) = P(1)Q(1) = Q(1)P(1) = \varphi(Q,P) \end{array} \)
Con los dos primeros resultados podemos decir que \(\varphi\) es bilineal y añadiendo el tercero, bilineal simétrica.

El núcleo de esta forma bilineal vendrá dado por:

    \(\begin{array}{l} Ker\;\varphi = \{P \in C_n[x] / \varphi(P,Q) = 0\; \forall \;Q \in C_n[x]\} = \\ = \{ P \in C_n[x] \;/\; P(1)Q(1) = 0\; \forall\; Q\}= \{P \in C_n[x]\;/\; P(1) = 0\} \end{array} \)
Para saber el rango de la forma bilineal, podemos calcularlo por la expresión:

    \(r(\varphi) = Dim\; C_n[x] - Dim\; S \)
La dimensión de Cn[x] es n+1 por tratarse del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n.
Para calcular la dimensión de S hacemos:

    \(P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_o \)
No obstante, si el polinomio P pertenece al subconjunto S, resulta:

    \( P \in S \rightarrow P(1) = 0 \rightarrow a_n + \cdots + a_1 + a_o \)
Puesto que hay una relación lineal entre los coeficientes del polinomio, podemos decir qe esta relación restringe en 1 los grados de libertad del subespacio S y, por consiguiente, Dim S = n. Así pues, finalmente, podemos poner:

    \(r(\varphi) = Dim\; C_n[x] - Dim\; S = (n+1) - n = 1\)
También podemos calcular el rango de la forma bilineal calculando el rango de la matriz asociada, que viene dada por:

    \( \begin{array}{l} \Omega = M[\varphi(1,t,\ldots , t^n)] = (w_{i,j})\; ; \\  \\ w_{i,j} = \varphi (e_i, e_j)= \varphi(t^i, t^j ) = 1^i1^j = 1 \end{array}\)
Para valores de i y j moviéndose entre 0 y n.
Desarrollando las anteriores expresiones tenemos:

    \( \Omega = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & 1 & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{array} \right) \)
Puesto que todos los elementos de la matriz son 1’s, todas las líneas serán combinación lineal entre si y la matriz tendrá rango 1.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás