PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 44

Tenemos:

    \( \begin{array}{l} S = \varphi(x,y)\;/ \;\varphi(x,y)= \varphi(y,x) \\ A = \psi(x,y)\;/ \;\psi(x,y)= -\psi(y,x) \end{array} \)
Puesto que \(\varphi\) y \(\psi\) son formas bilineales, su suma también lo será y podemos definir entonces una forma bilineal, f, que cumpla:

    \( \displaystyle f = \varphi + \psi \left\{ \begin{array}{c} \varphi(x,y) = \frac{1}{2}[f(x,y)+ f(y,x)] \\ \psi(x,y) = \frac{1}{2}[f(x,y)- f(y,x)] \\ \end{array} \right. \)
Con lo que se tendrá:

    \(f \in \mathfrak{L}_2(E,K)\; ; \;\mathfrak{L}_2(E,K) = S + A \)
Para que la suma de estos dos subconjuntos sea directa, se ha de cumplir:

    \( S \cap A = \{0\} \)
Para comprobarlo tomamos una forma bilineal \( \theta\) y hacemos:

    \( \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} \theta \in S \rightarrow \theta(x,y)= \theta(y,x) \\ \theta \in A \rightarrow \theta(x,y)= -\theta(y,x) \\ \end{array} \right\} 2\theta(x,y)= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \theta = 0 \rightarrow S\cap A =\{0\} \end{array}\)
Por lo que se cumple la ecuación (*) del enunciado.

Para la segunda cuestión, vamos a suponer que la dimensión de E es n. se tiene entonces:

    \( Dim[\mathfrak{L}_2(E;K)] = n^2 \)
Sabemos por teoría que una forma bilineal simétrica tiene asociada una matriz simétrica e, igualmente, una forma bilineal antisimétrica tiene asociada una matriz antisimétrica. Por consiguiente, las dimensiones de S y A se podrán calcular desarrollando las operaciones sobre los conjuntos de las matrices simétricas y antisimétricas. Por definición, tenemos:

    \( \begin{array}{l} M(a_{ij})\, simetrica \leftrightarrow a_{ij}= a_{ji} \\ M(a_{ij})\, antisimetrica \leftrightarrow a_{ij}= -a_{ji} \end{array} \)
Por lo tanto, para determinar todos los elementos de la primera matriz necesitamos conocer n parámetros de la diagonal principal y (n2 – n)/2 parámetros de las demás posiciones, es decir:

    \( \displaystyle n + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\rightarrow Dim \; S = \frac{n(n+1)}{2} \)
La definición de matriz antisimétrica exige que los elementos de la diagonal principal sean nulos, por lo tanto, los parámetros que tenemos que conocer serán:

    \( \displaystyle \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\rightarrow Dim \; A = \frac{n(n-1)}{2} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás