PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 43

En primer lugar, descomponemos el polinomio cuadrático en suma de cuadrados de polinomios lineales:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} 2x^2-2y^2 -6z^2+7yz - 4xz + 3xy =\\ = 2x^2 - 2x\left(2z - \frac{3}{2}y\right) + \frac{1}{2}\left(2z - \frac{3}{2}y\right)^2 -\\ -\frac{1}{2}\left(2z - \frac{3}{2}y\right)^2- 2y^2 + 6z^2 + 7zy = \\ 2f_1^2 -\frac{9}{8}y^2 + 3yz- 2y^2 + 6z^2 + 7zy =\\ 2\left[x -\left(2z - \frac{3}{2}y\right) \right]^2 - \left(2z - \frac{3}{2}y\right)^2- 2y^2 + 6z^2 +\\ 7zy = 2f_1^2-\frac{25}{8}y^2 - 8z^2 + 10zy = \\ 2f_1^2 - 8\left(\frac{25}{64}y^2 - z^2 + \frac{10}{8}zy\right) =\\ 2f_1^2- 8\left(z - \frac{5}{8}y\right)^2 = 2f_1^2 - 8f_2^2 \end{array} \)

Con lo que el polinomio cuadrático se puede descomponer en suma de cuadrados de dos polinomios lineales.
Por teoría sabemos que el número de formas lineales coincide con el rango de \(\phi\), por consiguiente:

    \(r(\phi)= 2 \,; \, Dim \, E = 3 > r(\phi)\rightarrow Ker \,\phi \neq 0 \)
Y, por lo tanto, \(\phi\) es degenerada o singular. Para determinar los vectores singulares lo hacemos sabiendo que se ha de cumplir:

    \( \displaystyle \phi(v) = 0 \rightarrow 2\left[x - \left(2z - \frac{3}{2}y\right)\right]^2 - 8\left(z - \frac{5}{8}y\right) = 0 \)
Y de esta expresión podemos obtener:

    \( \displaystyle \left[x - z + \frac{3}{4}y\right]^2 = 4\left(z - \frac{5}{8}y\right)^2 \rightarrow x - z + \frac{3}{4}y = \pm \left(z - \frac{5}{8}y\right) \)
Con lo que los vectores singulares han de satisfacer las ecuaciones:

    \( \displaystyle x- 3z + 2y = 0 \; ; \; x+y - \frac{1}{2}y = 0 \)
Los vectores dobles son los que pertenecen al núcleo de \(\phi\) y han de cumplir:
    \( \displaystyle x \in Ker \,\phi \rightarrow \phi(x,y) = 0 \forall y \in E \)
Para determinar cuales son los vectores dobles, calculamos la matriz de la forma cuadrática:


\( \begin{array}{l} f(x,y) = X^t\Omega Y = (x_1, x_2, x_3)\left( \begin{array}{ccc} w_{11} & w_{12} & w_{13} \\ w_{21} & w_{22} & w_{23} \\ w_{31} & w_{32} & w_{33} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ \end{array} \right)\; ; \\  \\ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3/2 & -2 \\ 3/2 & -2 & 7/2 \\ -2 & 7/2 & -6 \\ \end{array} \right) \end{array}\)

Y de ese modo podemos poner:

    \( \varphi (x,y) = 0 \rightarrow (x_1, x_2, x_3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3/2 & -2 \\ 3/2 & -2 & 7/2 \\ -2 & 7/2 & -6 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ \end{array} \right) = 0 \)
Y considerando para los vectores (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1) obtenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{c} 2x_1 + \frac{3}{2}x_2 - 2x_3 = 0\\\\ \frac{3}{2}x_1 - 2x_2 + \frac{7}{2}x_3 = 0 \\\\ -2x_1 + \frac{7}{2}x_2 - 6x_3 = 0 \end{array} \)
Que es un sistema homogéneo que tiene como solución:

    \( \displaystyle x_3 = \frac{5}{8}x_2 \; ; \; x_1 = - \frac{1}{4}x_2 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás