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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Sea E el espacio vectorial R3 referido a su base canónica \( \{e_1, e_2, e_3\} \) y f la forma bilineal definida por:
    \(\begin{array}{l} f(x, y) = x_1y_1 + 6x_2y_2 + 56x_3y_3 - 2(x_1y_2 + x_2y_1) +\\ \\ + 7(x_1y_3 + x_3y_1) - 18(x_2y_3 + x_3y_2) \end{array} \)
Escribir la matriz de f en la base canónica. Escribir la matriz de f en la base \( \{e'_1, e'_2, e'_3\} \) que cumple:
    \( e'_1 = e_1 \quad ; \quad e'_2 = 2e_1 + e_2 \quad ; \quad e'_3 = - 3e_1 + 2e_2 + e_3 \)

Dar la expresión de la forma cuadrática, q, asociada a f, respecto de cada una de las bases.

Respuesta del ejercicio 42

La matriz de f en la base canónica viene dada por:

\( \begin{array}{l} f(x,y) = X^t\Omega Y = (x_1, x_2, x_3)\left( \begin{array}{ccc} w_{11} & w_{12} & w_{13} \\ w_{21} & w_{22} & w_{23} \\ w_{31} & w_{32} & w_{33} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ \end{array} \right)\; ; \\  \\ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 7 \\ -2 & 6 & -18 \\ 7 & -18 & 56 \\ \end{array} \right) \end{array}\)

Para conocer la matriz de f en la base \(B' = \{e'_1, e'_2; e'_3\}\) debemos calcular antes la matriz de paso, P, de la base B a la base B’. Puesto que nos dan las imágenes de los vectores de la base, tenemos:

    \( \begin{array}{l} e'_1 = e_1 \\ e'_2 = 2e_1+ e_2 \\ e'_3 = -3e_1+ 2e_2 + e_3 \end{array}\quad\Rightarrow P = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Y puesto que la matriz \(\Omega\) es congruente con \(\Omega' \) , podemos poner:

    \(\Omega' = P^t \Omega P = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 7 \\ -2 & 6 & -18 \\ 7 & -18 & 56 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \)

    \(= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \)
La forma cuadrática q tendrá como expresión en cada una de las bases:

    \( \begin{array}{l} q_B(x) = x_1^2 + 6x_2^2 + 56x_3^2 - 4x_1x_2+14x_1x_3 - 36x_2x_3 \\ q'_B(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás