PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 41

Sabemos que, por definición, una forma bilineal antisimétrica cumple:

    \( \varphi(x,y) = - \varphi(y,x) \,, \,\forall x,y \in E \)
Podemos hacer entonces:
    \( \varphi(x,y) = - \varphi(y,x) \Rightarrow 2\varphi(x,x) = 0 \rightarrow \varphi(x,x) = 0\,,\,\forall x \in E \)
Según lo visto, podemos decir que toda forma cuadrática asociada a una forma bilineal antisimétrica es nula, puesto que se cumple:
    \( \phi(x) = \varphi(x,x) = 0\,,\,\forall x \in E \)
Por lo tanto, si demostramos que toda forma bilineal se puede poner como suma de una forma bilineal simétrica, f1, y otra forma bilineal antisimétrica, f2, es decir:

    \( f(x,y) = f_1(x,y) + f_2(x,y) \)
Habremos reducido el estudio de las formas bilineales al de las formas bilineales simétricas en cuanto a generación de formas cuadráticas se refiere:

    \( \phi(x) = f(x,x) = f_1(x,x) + f_2(x,x)= f_1(x,x) \)
Definimos entonces para cualquier forma bilineal f:

    \( f_1(x,y) = \displaystyle \frac{1}{2}[f(x,y) + f(y,x)]\; ; \;f_2(x,y) = \frac{1}{2}[f(x,y) + f(y,x)] \)
Es fácil ver que f1 es una forma bilineal simétrica y que f2 es una forma bilineal antisimétrica. Además se tiene:

    \( \begin{array}{l} (f_1 + f_2)(x,y) = f_1(x,y) + f_2(x,y)= \\ \displaystyle = \frac{1}{2}[f(x,y) + f(y,x)] + \frac{1}{2}[f(x,y) - f(y,x)]= f(x,y) \end{array} \)
Es decir, que se cumple, tal como queríamos demostrar:

    \( f(x, y) = f_1(x,y) + f_2(x,y) \)
Donde f1 es una forma bilineal simétrica y f2 una forma bilineal antisimétrica.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás