Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Sea W un espacio vectorial. Supongamos que W es S-invariante y
T-invariante; probar que W es (S+T)-invariante y (S•T)-invariante.
Respuesta del ejercicio 39
Si W cumple las condiciones del enunciado, podemos poner:
\( \left. \begin{array}{c} \forall x \in W \div S(x) \in W \\
\forall x \in W \div T(x) \in W \\ \end{array} \right\} (S+T)(x)
= S(x) + T(x) \in W \Rightarrow \)W es (S+T)-invariante
De igual forma:
\( \left. \begin{array}{c} \forall x \in W \div S(x) \in W \\
\forall x \in W \div T(x) \in W \\ \end{array} \right\} (S·T)(x)
= S[T(x)]= S(x') \in W \Rightarrow \) W es (S·T)-invariante
El problema puede también resolverse por otro método:
\( \begin{array}{l} si\; W\;es \;S-invariante \Rightarrow S(W)
\subset W \\ si\; W\;es \;T-invariante \Rightarrow T(W) \subset
W \end{array} \)
Con esas consideraciones tenemos:
\(\begin{array}{l} (S+T)W = S(W) + T(W) \subset W + W = W \Rightarrow
W \; (S+T)-inv. \\ (S·T)W = S[ T(W)] \subset S(W) \subset W
\Rightarrow W \; (S·T)-inv. \end{array} \)
Y se cumplen las propiedades de invarianza indicadas