PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MÉTODOS MATEMÁTICOS

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RECTA DE REGRESIÓN, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CRUZADA, MÉTODO DE MONTECARLO, MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

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Problemas resueltos

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Ejercicio de matemáticas, enunciado 31

Obtener los autovalores y una base de vectores propios para la siguiente matriz

    \( \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 \\ \end{array} \right) \)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 32

Calcular los valores propios del endomorfismo f definido en R³ y cuya matriz en la base canónica es:

    \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & a \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right)\quad ; \quad a\in R \)
Ver si la matriz es dagonalizable.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 33

Sean a, b, c números reales. Determinar en qué casos la matriz:

    \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \\ \end{array} \right) \)
Es diagonalizable
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 34

Sean f y g dos endomorfismos en un espacio vectorial E, de dimensión finita n, sobre un cuerpo K, teniendo cada uno n valores propios distintos en K. demostrar que las condiciones siguientes son equivalentes:
    1) f.g = g.f
    2) f y g tienen los mismos vectores propios
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 35

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. demostrar que AB y BA tienen los mismos valores propios.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 36

Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión n sobre R tal que f² = f, ¿Cuáles son los valores propios de f? . Encontrar todas mas matrices de M2(R) tales que A² = A.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 37

Sea A una matriz de Mn(C) y B la traspuesta de la matriz de sus adjuntos (estas matrices verifican:

    \( AB = BA = det \; A \times I_n \)
Demostrar que si v es un vector propio de A asociado al valor propio λ, existe un valor propio μ de B tal que v es un vector propio de B asociado a μ.
    1º) siendo a inversible
    2º) si B es no inversible y λ es distinta de cero.
    3º) siendo λ = 0 raíz simple del polinomio característico de A.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 38

Sean f y g dos endomorfismos de un espacio vectorial E, de dimensión finita, que conmutan.
Demostrar que todo espacio propio de f es g-invariante. Demostrar, por recurrencia sobre la dimensión de E, que si g posee un vector propio, éste es común a f (evidentemente, f admite algún valor propio)
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 39

Sea W un espacio vectorial. Supongamos que W es S-invariante y T-invariante; probar que W es (S+T)-invariante y (S•T)-invariante.
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Ejercicio de matemáticas, enunciado 40

Sea W un espacio vectorial. Supongamos que W es A-invariante; demostrar que W es f(A) – invariante, siendo f(t) un polinomio cualquiera. Estudiar si la matriz es dagonalizable.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto
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tema escrito por: José Antonio Hervás