PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 38

Si g es un endomorfismo de un espacio vectorial E y S es un subespacio propio de E, se dice que S es g-invariante si se cumple que g(S) es un subespacio propio de S.

Si \(\lambda\) es un valor propio de f, entonces \(V(\lambda)\) es un subespacio propio de f. En esas condiciones hemos de demostrar que se tiene:

    \( g[V(\lambda)]\subset V(\lambda) \)
O, de otra forma:

    \(\textrm{si } x \in V(\lambda) \Rightarrow g(x) \in V(\lambda) \)
Para ello hacemos:

    \( f·g(x) = g·f(x) = g[f(x)]= g(\lambda x) \Rightarrow g(x) \in V(\lambda) \)
Con lo que queda demostrada la primera parte.

Tenemos que demostrar ahora, por inducción sobre la dimensión de E, que se cumple:
V vector propio de g →v vector propio de f

Supongamos que dim E = 1; puesto que f y g son endomorfismos, se cumplirá:

    \(f(v) \in E \quad ; \quad g(v) \in E \)
Por consiguiente, si tenemos:

    \(\left. \begin{array}{c} g(v) = \lambda v \Rightarrow \exists\; V(\lambda) \\ v \textrm{ vector propio de }g \\ \end{array} \right\} V(\lambda) = E = [v] \)
Podemos poner:

    \( f(v) \in E \Rightarrow f(v) \in V(\lambda) \Rightarrow f(v) = \mu v \)
Y v es vector propio de f.
Supongamos ahora que dim E = n y que la condición pedida se verifica para todos aquellos casos en los que dim E s igual o menor que n-1. Sea \( V(\lambda)\) un subespacio propio asociado a f, entonces \( V(\lambda)\) es f-invariante y, además, según hemos demostrado en la primera parte, también es g-invariante. En esas condiciones definimos:

    \( \begin{array}{c} f_{/V(\lambda)}: V(\lambda)\rightarrow V(\lambda)\; ;\; f_{/V(\lambda)}= f(v)\; ,\;\forall v \in V(\lambda) \\ g_{/V(\lambda)}: V(\lambda)\rightarrow V(\lambda)\; ;\; g_{/V(\lambda)}= g(v)\; ,\;\forall v \in V(\lambda) \end{array} \)
Si dim \( V(\lambda)\) es estrictamente menor que dim E, entonces, por la hipótesis de inducción, todo vector propio de \(f_{/V(\lambda)}\) lo es también de \(g_{/V(\lambda)}\). Pero se tiene que cada vector de\(f_{/V(\lambda)} \, y \,g_{/V(\lambda)} \) lo es respectivamente de f y g y, en consecuencia, se cumple la condición

    \( \textrm{ si Dim } V(\lambda) = dim E \Rightarrow V(\lambda) = E \Rightarrow f = \lambda·I \Rightarrow\left\{ \begin{array}{c} v \textrm{ v. p. de } g \\ v \textrm{ v. p. de } f \\ \end{array} \right. \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás