PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 37

Caso primero. La matriz A es inversible. Si A es inversible significa que no tiene ningún valor propio nulo, puesto que podemos poner:

    \( \textrm{si } \lambda = 0 \Rightarrow |A - \lambda I| = 0 \Rightarrow |A| = 0\Rightarrow A \textrm{ no inversible } \)
Así pues, en este caso, todos los valores propios de A son distintos de 0. Según la hipótesis inicial se cumple \(Av = \lambda v\) y hemos de demostrar que se tiene \(Bv = \lambda v\). Para ello hacemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} B\,Av = B(A V) = B(\lambda v) = \lambda B v \\ B\,A v = det AI_nv = det(A)v \\ \end{array} \right\} \lambda B v = Det(A)v \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow Bv = \frac{det(A)}{\lambda}v \; ; \;\mu = \frac{det (A)}{\lambda} \end{array} \)
Caso segundo. La matriz B es no inversible. Se tiene:

    \( \begin{array}{l} B \textrm{ no inversible }\Rightarrow |B|= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow |AB|= |A||B|= 0 = det A I_n \Rightarrow A \textrm{ no inversible } \end{array}\)
De todos modos, lo anterior no está en contradicción con el hecho de sea \(\lambda\) distinto de cero, puesto que el \(\lambda\) puede ser un valor propio cualquiera. Para encontrar \(\mu\) hacemos:

    \( \begin{array}{l} BA v = B(Av) = B(\lambda v)= \lambda Bv = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow Bv = 0 = 0v \Rightarrow \mu = 0 \textrm{ valor propio} \end{array}\)
Caso tercero. Siendo \(\lambda = 0\) raiz simple del polinomio característico de A. Según lo visto anteriormente, si \(\lambda = 0 \) es raíz del polinomio característico de A, se tiene que el determinante de A es nulo y podemos poner:

    \( \begin{array}{l} det A = 0 \\ Av = \lambdav = 0 \end{array}\left| \begin{array}{c} BAv = 0 \\ ABv = 0 \\ \end{array} \right|\begin{array}{c} A(Bv) = 0(Bv) \\ Bv \in V(0) \end{array} \)
Hemos deducido que el vector Bv pertenece a la clausura lineal de V(0), pero al ser \(\lambda = 0 \) raíz simple, se verifica que dim V(0) = 1 y, al ser v (distinto de o) un vector de V(0), podemos considerarlo como base de dicho subespacio, de forma que cualquier vector de V(0) se pondrá en combinación lineal de v, es decir:

    \( Bv \in V(0) \Rightarrow Bv = \muv \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás