PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 36

Supongamos que \(\lambda\) es un valor propio de f; se tiene entonces:

    \(\exists \;v \neq 0 \; t.q. \; f(v) = \lambda v \)
Y, por otro lado:

    \(\begin{array}{l} f(v) = f^2(v) = f[f(v)]= f(\lambda v) = \lambda·f(v) = \lambda^2 v \\ f(v) = \lambda v \end{array} \)
Combinando ambos resultados:
    \( 0 = \lambda^2 v - \lambda v = (\lambda^2 - \lambda)v = 0 \Rightarrow^{v\neq 0} \Rightarrow \lambda^2 - \lambda = 0 \left( \begin{array}{l} \lambda = 0 \\ \lambda = 1 \\ \end{array} \right) \)
Por consiguiente, todos los endomorfismos que cumplen f² = f tienen sus valores propios en el conjunto {1, 0} (alguno de los valores se puede repetir o no aparecer).
Pasemos ahora a encontrar las matrices de M2(R) que verifican la condición dada en el enunciado. Estas matrices estarán asociadas en una cierta base a los operadores que cumplen f² = f.

Fijamos una base, B, en E y podemos distribuir el conjunto de esas matrices en dos conjuntos:
    1º) matrices diagonalizables
    2º) matrices no diagonalizables
Las matrices diagonalizables del conjunto estudiado serán muchas, pero todas ellas semejantes a una de las matrices siguientes:

    \( \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\quad \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\quad\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \)
Las matrices no diagonalizables deberán tener valores propios de multiplicidad 2, pues de lo contrario serían diagonalizables, ya que se cumpliría dim \(V(\lambda) = k \). Tenemos entocnes que han de ser semejantes a :

    \( \left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\quad \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\qquad a \neq 0 \)
El valor de a debe ser distinto de 0 para que se cumpla:

    \( r(M) \neq 0 \Rightarrow Dim \;V(\lambda) \neq k \)
Finalmente solo nos queda comprobar cuales de estas matrices verifican A² = A. Las diagonalizables lo verifican todas. Para las no diagonalizables se tiene:

    \( \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\Rightarrow A^2 \neq A \\ \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\Rightarrow A^2 \neq A \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás