PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 35

En general, podemos poner:

    \( \left( \begin{array}{c} \lambda \textrm{valor propio de }A \Leftrightarrow |A-\lambda I|= 0 \\ 0 \textrm{ valor popio de }A \Leftrightarrow |A| = 0 \\ \end{array} \right) \)
Sea entonces:

    \( \lambda = 0 \textrm{ valor propio de } AB \Leftrightarrow |AB| = 0 = |A||B|\left\{ \begin{array}{c} |A| = 0 \\ |B| = 0 \\ \end{array} \right\} |BA| = 0 \)
Y, por consiguiente, 0 es un valor propio de BA.
Sea ahora \(\lambda\) , distinto de 0, un valor propio de AB, tenemos:

    \( \lambda \neq 0 \Rightarrow \exists \; v \neq 0 \quad / \quad (AB)v = \lambda v \Rightarrow \lambda v \neq 0 \)
Si \(\lambda\) es un valor propio de AB, se cumplirá:

    \(\begin{array}{l} (AB)v = \lambda v \\ BABv = B(ABv)= B(\lambda v)=\lambda Bv \end{array} \)
Sea Bv = w. Según lo visto, tenemos:

    \( BAw = BA(Bv) = B(ABv) = B\lambda v = \lambda Bv = \lambda w \)
Por lo que w es un vector propio de BA, aunque no sabemos si es nulo. Para aclarar esta cuestión, hacemos

    \( (AB)v = \lambda v \Rightarrow Aw = \lambda v \neq 0 \Rightarrow w \neq 0\)
Así pues, se tiene que w es un vector propio no nulo asociado al valor propio \(\lambda\); en consecuencia, podemos decir que \(\lambda\) es un valor propio de AB y de BA y, puesto que es un valor genérico, la demostración ha concluido.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás