PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 34

Veamos si la conclusión 2 implica la 1. Sabemos que f y g tienen todos sus valores propios distintos, por consiguiente, existe una base, B, de vectores propios de f y g, respectivamente y cualquier vector se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base. Por lo tanto, solo necesitamos analizar el comportamiento de los vectores de la base, es decir, de los vectores propios:

    \(B = \{x_1,\ldots, x_n\}\left\{ \begin{array}{l} f(x_1) = \lambda_1x_1 \; ; \cdots ; \; f(x_n)= \lambda_nx_n \\ g(x_1) = \mu_1x_1 \; ; \cdots ; \; g(x_n)= \mu_nx_n \\ \end{array} \right. \)
De ahí podemos hacer:

    \( (gf)(x_i) = g[f(x_i)]= g(\lambda_1x_i)= \lambda_ig(x_i) = f[g(x_i)] = (fg)(x_i) \)
Veamos ahora si la condición 1 implica la condición 2. Sea v un vector propio de f. Se tiene:

    \( \exists\; \lambda\quad /\quad f(v) = \lambda·v \left\{ \begin{array}{c}
    v \in V(\lambda) \\ v \neq 0 \\ \end{array}
    \right. \)
La dimensión de \(V(\lambda)\) tiene que cumplir:

    \( 1 \leq Dim \;V(\lambda)\leq k \)
Pero al tener n valores propios distintos, la multiplicidad de cada uno de ellos es 1. De ahí se tiene que la dimensión de dicho espacio es 1 y como el vector v pertenece a \(V(\lambda)\) , tendremos:

    \( V(\lambda)= [v] \)
Como f y g conmutan, podemos poner:

    \( \left. \begin{array}{c} gf(v) = g(\lambda v) = \lambda g(v) \\ f[g(v)] = gf(v) = g(\lambda v) = \lambda g(v) \\ \end{array} \right\} g(v) \in V(\lambda) \)
Como se tiene que la dimensión de \(V(\lambda)\) es 1, cualquier vector de dicho subespacio se podrá poner como combinación lineal de v, es decir \( g(v) = \muv\) , y v será un vector propio de g asociado al valor propio \(\mu\) .
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás