PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 33

Calculamos los valores propios de la matriz del enunciado:

    \(|A-\lambda I|= \left| \begin{array}{ccc} 1-\lambda & a & 1 \\ 0 & 1-\lambda & b \\ 0 & 0 & c-\lambda \\ \end{array} \right| = (1-\lambda)^2(c-\lambda) = 0 \)
Tenemos que distinguir dos casos:
1º) Cuando c = 1, se tiene un valor propio de multiplicidad 3

    \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\begin{array}{l} si\:a\textrm{ ó } b = 0 \Rightarrow r(A-I) = 1 \\ si\:a\; y \; b \neq 0 \Rightarrow r(A-I) = 2 \end{array} \)
El rango de la matriz no es nunca 0 y, por lo tanto, la matriz no es en ningún caso diagonalizable.
2º) cuando c es distinto de 1, se tiene un valor propio de multiplicidad 2 y otro valor propio de multiplicidad 1. Este último es c y no condiciona el que A pueda diagonalizarse. Estudiamos, entonces el otro valor propio:

    \((A-I) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & c-1 \\ \end{array} \right) \)
El valor de b no condiciona el rango de la matriz, puesto que si b es distinto de 0, la segunda y tercera filas son linealmente dependientes, y si b = 0 es el valor de a el que determina el rango de la matriz. Así pues, podemos poner:

    \( \begin{array}{l} a \neq 0 \Rightarrow r(A-I) = 2 \Rightarrow\\ \Rightarrow Dim\,V(1) = 1 \neq k_1 \Rightarrow \textrm{ A No es diagonalible} \\\\ a = 0 \Rightarrow r(A-I) = 1 \Rightarrow\\ \Rightarrow Dim\,V(1) = 2 = k_1 \Rightarrow \textrm{ A Si es diagonalible} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás