PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 27

Desarrollamos el polinomio característico de la matriz:

    \(|A- \lambda I|= \left| \begin{array}{cc} -7-\lambda & -6 \\ 12 & 10-\lambda \\ \end{array} \right| = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \; ; \; \lambda_1 = 1\; ; \; \lambda_2 = 2 \)
Para obtener los vectores propios hacemos:

    \( \left( \begin{array}{cc} -8 & -6 \\ 12 & 9 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow \left.\begin{array}{l} 8x+6y = 0 \\ 12x+9y = 0 \end{array}\right\} \qquad x = \displaystyle - \frac{3}{4}y \)
Y el vector (3, -4) será una base de V(1).
En el segundo caso tenemos:

    \(\left( \begin{array}{cc} -9& -6 \\ 12 & 8 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) = 0 \Rightarrow \left.\begin{array}{l} 9x+6y = 0 \\ 12x+8y = 0 \end{array}\right\} \qquad x = \displaystyle - \frac{2}{3}y \)
Y, por consiguiente, el vector (2, -3) es una base de V(2).
La matriz P de paso vendrá dada por los vectores base puestos en columna, es decir:

    \( P = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right) \; ; \; P^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right) \)
Y dicha matriz verifica:

    \(P^{-1}AP = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} -7 & -6 \\ 12 & 10 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right) \)
Calculamos ahora A²:

    \( \left( \begin{array}{cc} -7 & -6 \\ 12 & 10 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} -7 & -6 \\ 12 & 10 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -23 & -18 \\ 36 & 28 \\ \end{array} \right) \)
Los valores propios de A² cumplirán:

    \(A^2v = A(Av) = A(\lambda A) = \lambda Av = \lambda \lambda v = \lambda^2 v \)
Con lo que podemos decir que los valores propios de A² son:

    \( \lambda_1^2 = 1 \; ; \; \lambda_2^2 = 4 \)
Los vectores propios de la matriz A² son los mismos que los de la matriz A puesto que se verifica:

    \(P^{-1}AP = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} -23& -18 \\ 36& 28 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás