PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 25

Los polinomios obtenidos en el ejercicio 24 son ortogonales en el intervalo (0, 1), por lo tanto, podemos poner:

    \( \displaystyle \int_0^1 \left[\sin x - \sum_{n=0}^2c_np_n(x)\right]^2dx \)
Y esta expresión será mínima cuando se cumpla:

    \( \displaystyle c_n = \frac{\int_0^1 \sin xp_n(x)dx}{\int_0^1 p_n^2(x)dx} \)
Es decir:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} c_0 = \frac{\int_0^1 \sin xp_0(x)dx}{\int_0^1 p_0^2(x)dx}= \frac{\int_0^1 \sin xdx}{\int_0^1 dx} = 1 - \cos 1\\  \\ c_1 = \frac{\int_0^1 \sin xp_1(x)dx}{\int_0^1 p_1^2(x)dx}= \frac{\int_0^1 \sin x\left(x - \frac{1}{2}\right)dx}{\int_0^1\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx} = \\ \frac{\sin 1 - \frac{1}{2}(1+\cos 1)}{1/12} \\  \\ c_2 = \frac{\int_0^1 \sin xp_2(x)dx}{\int_0^1 p_2^2(x)dx}= \frac{\int_0^1 \sin x\left(x^2 - x+ \frac{1}{6}\right)dx}{\int_0^1\left(x^2 - x + \frac{1}{6}\right)^2 dx} = \\ \frac{\sin 1 - \frac{13}{6}(1+\cos 1)}{1/18} \end{array}\)
Y la aproximación buscada será:

    \( \displaystyle \sin x \cong (1- \cos 1) + 12\left[\sin 1- \frac{1}{2}(1 + \cos 1)\right]\left(x - \frac{1}{2}\right)+ \)

    \( \displaystyle + 180\left[\frac{11}{6}(\cos 1 - 1) + \sin 1\right] \left(x^2 - x + \frac{1}{6}\right) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás