PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 24

Por la condición de que pn(x) es de grado n y que el coeficiente de xn es igual a 1, se tendrá que po(x) = 1.
El polinomio p1(x) será de la forma p1(x) = x+a y, como po(x) y p1(x) son ortogonales en (0, 1), resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int_0^1 1(x+a)dx = \left[\frac{x^2}{2}+ ax\right]_0^1 = \\  \\ = \frac{1}{2}+ a = 0 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}\Rightarrow p_1(x) = x - \frac{1}{2} \end{array} \)
El polinomio p2(x) será de la forma p2(x) = x² + bx + c. Por ser ortogonal a po(x) y a p1(x) tenemos:

    \( \displaystyle \int_0^1 1(x^2+ bx+c)dx = \left[\frac{x^3}{3}+ \frac{b}{2}x^2+cx\right]_0^1 = \frac{1}{3}+\frac{b}{2} + c = 0 \)
Y análogamente:

    \( \displaystyle \int_0^1\left(x - \frac{1}{2}\right)(x^2+bx+c)dx = \)

    \( \displaystyle = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{b}{3}x^3 +\frac{c}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 +\frac{b}{4}x^2 - \frac{c}{2}x \right]_0^1 = \frac{1+b}{12} = 0 \)
De las dos últimas expresiones obtenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{3}+ \frac{b}{2} + c = 0 \; ; \; \frac{1+b}{12} = 0 \Rightarrow b = -1 \; ; \\  \\ \; c = \frac{1}{6} \Rightarrow p_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6} \end{array} \)
Así pues, los polinomios buscados son:

    \( \displaystyle p_0(x) = 1\; ; \; p_1(x) = x - \frac{1}{2}\; ; \; p_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás