Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Encontrar la matriz de transición
Φ(k)
del sistema dinámica discreto:
\( \displaystyle \bar{x}(k+1) = \left( \begin{array}{cc} 1 &
1 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right)·\bar{x}(k) \)
Y calcular x(5) partiendo del estado inicial x(0) = (1 0)’.
Respuesta del ejercicio 20
La matriz de transición para un sistema discreto viene
dada por :
Y para calcular A
k necesitamos conocer los valores
propios de A:
\( \begin{array}{l} \Phi(k) = A^k |sI- A|= 0 \Rightarrow \\
\\ \Rightarrow (s-1)(s-2)= 0 \Rightarrow s_1 = 1 \; ; \; s_2
= 2 \end{array}\)
Puesto que los valores propios son distintos, podemos obtener
A
k por el método de Kaley – Hamilton o
por el método de los vectores propios.
El primer método nos da:
\( \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cccc} 1 & s_1 & \cdots
& s_1^{n-1} \\ 1 & s_2 & \cdots & s_2^{n-1} \\ · & · & \cdots
& · \\ 1 & s_n & \cdots & s_n^{n-1} \\ \end{array}\right)\left(
\begin{array}{c} r_0 \\ r_1 \\· \\ r_{n-1} \\ \end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c} f(s_1) \\ f(s_2) \\ · \\f(s_n) \\ \end{array}
\right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c}
r_0 \\ r_1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
1^k \\ 2^k \\ \end{array} \right) \end{array}\)
De la última ecuación tenemos:
\( r_1 = 2^k - 1^k \; ; \; r_0 = 2·1^k - 2^k \)
Y a partir de ahí:
\( A^k = r_0·I + r_1A = \left( \begin{array}{cc} r_0 & 0 \\
0 & r_0 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} r_1
& r_1 \\ 0 & 2r_1 \\ \end{array} \right) = \)
\( = \left( \begin{array}{cc} r_0+r_1 & r_1 \\ 0 & r_0+2r_1
\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 1^k & 2^k-1^k
\\ 0 & 2^k \\ \end{array} \right) \)
Para obtener Ak por el método de los vectores propios obtenemos
una base de cada uno de los espacios vectoriales asociados a cada
valor propio:
\( s_1 = 1 \Rightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 &
1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{12}
\\ \end{array} \right) =0 \Rightarrow x_{12}= 0 \Rightarrow
v_1 = (1 \qquad 0) \)
\( \begin{array}{l} s_1 = -1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow
\left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left(
\begin{array}{c} x_{21} \\ x_{22} \\ \end{array} \right) =0
\Rightarrow x_{21}+ x_{22}= 0 \Rightarrow v_2 = (1 \qquad 1)
\end{array}\)
Con v
1 y v
2 podemos formar la matriz P que
nos permite obtener A
k:
\( P = (v'_1 \quad v'_2) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\
0 & 1 \\ \end{array} \right) \Rightarrow P^{-1}= \left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Y a partir de ahí:
\( \displaystyle \begin{array}{l} A^k = P·D^k·P^{-1} = \left(
\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc}
1^k & 0 \\ 0 & 2^k \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \\ \\ = \left( \begin{array}{cc}
1^k & 2^k - 1^k \\ 0 & 2^k \\ \end{array} \right) \end{array}\)
Para calcular x(5) tenemos:
\( \begin{array}{l} \textrm{ para } k = 0 \Rightarrow x_1(1)
= A·x(0) \\\\ \textrm{ para } k = 1 \Rightarrow x_1(2) = A[A·x(0)]=
A^2·x(0) \end{array} \)
Con lo que resulta:
\( \begin{array}{l} x(k) = A^k·x(0)\Rightarrow x(k) = \\ \\
= \left( \begin{array}{cc} 1^k & 2^k-1^k \\ 0 & 2^k \\ \end{array}
\right)\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1^k \\ 0 \\ \end{array} \right)= \left(
\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{array}\)