PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 20

La matriz de transición para un sistema discreto viene dada por :

    \( \Phi(k) = A^k \)
Y para calcular Ak necesitamos conocer los valores propios de A:

    \( \begin{array}{l} \Phi(k) = A^k |sI- A|= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow (s-1)(s-2)= 0 \Rightarrow s_1 = 1 \; ; \; s_2 = 2 \end{array}\)
Puesto que los valores propios son distintos, podemos obtener Ak por el método de Kaley – Hamilton o por el método de los vectores propios.
El primer método nos da:

    \( \begin{array}{l} \left( \begin{array}{cccc} 1 & s_1 & \cdots & s_1^{n-1} \\ 1 & s_2 & \cdots & s_2^{n-1} \\ & & \cdots & \\ 1 & s_n & \cdots & s_n^{n-1} \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} r_0 \\ r_1 \\ \\ r_{n-1} \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} f(s_1) \\ f(s_2) \\ \\f(s_n) \\ \end{array} \right) \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} r_0 \\ r_1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1^k \\ 2^k \\ \end{array} \right) \end{array}\)
De la última ecuación tenemos:

    \( r_1 = 2^k - 1^k \; ; \; r_0 = 21^k - 2^k \)
Y a partir de ahí:

    \( A^k = r_0I + r_1A = \left( \begin{array}{cc} r_0 & 0 \\ 0 & r_0 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} r_1 & r_1 \\ 0 & 2r_1 \\ \end{array} \right) = \)

    \( = \left( \begin{array}{cc} r_0+r_1 & r_1 \\ 0 & r_0+2r_1 \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 1^k & 2^k-1^k \\ 0 & 2^k \\ \end{array} \right) \)
Para obtener Ak por el método de los vectores propios obtenemos una base de cada uno de los espacios vectoriales asociados a cada valor propio:

    \( s_1 = 1 \Rightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{12} \\ \end{array} \right) =0 \Rightarrow x_{12}= 0 \Rightarrow v_1 = (1 \qquad 0) \)




    \( \begin{array}{l} s_1 = -1 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_{21} \\ x_{22} \\ \end{array} \right) =0 \Rightarrow x_{21}+ x_{22}= 0 \Rightarrow v_2 = (1 \qquad 1) \end{array}\)
Con v1 y v2 podemos formar la matriz P que nos permite obtener Ak:

    \( P = (v'_1 \quad v'_2) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \Rightarrow P^{-1}= \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} A^k = PD^kP^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} 1^k & 0 \\ 0 & 2^k \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \\  \\ = \left( \begin{array}{cc} 1^k & 2^k - 1^k \\ 0 & 2^k \\ \end{array} \right) \end{array}\)
Para calcular x(5) tenemos:

    \( \begin{array}{l} \textrm{ para } k = 0 \Rightarrow x_1(1) = Ax(0) \\\\ \textrm{ para } k = 1 \Rightarrow x_1(2) = A[Ax(0)]= A^2x(0) \end{array} \)
Con lo que resulta:

    \( \begin{array}{l} x(k) = A^kx(0)\Rightarrow x(k) = \\  \\ = \left( \begin{array}{cc} 1^k & 2^k-1^k \\ 0 & 2^k \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1^k \\ 0 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{array}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás