PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 15

Como ya sabemos, el método de Runge – Kutta consiste en aplicar la ecuación:

    \( \displaystyle x_{k+1} = x_k + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \)
Siendo:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} k_1 = Tf(x_kt_k) \\ k_1 = Tf(x_k + \frac{1}{2}k_1 t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_3 = Tf(x_k + \frac{1}{2}k_2t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_4 = Tf(x_k + k_3 t_k+ \frac{1}{2}T) \end{array} \)
Tenemos entonces:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} k_1 = 0,1\left(\frac{0}{1}+ 0,5\times 1\right)= 0,05 \\ k_2 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,25}+0,5(1+ 0,025)\right)= 0,056 \\ k_3 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,28}+0,5(1+ 0,0285)\right)= 0,056 \\ k_4 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,6}+0,5(1+ 0,056)\right)= 0,052 \end{array} \)
Y de ese modo, la primera aproximación para el proceso de iteración por el método de Runge - Kutta será:

    \( \displaystyle x_{k+1}= 1+ \frac{1}{6}(0,05 + 2\times 0,056 + 2\times 0,056 + 0,062) = 1,056 \)
Para la segunda aproximación tenemos (ahora t0 = t1 + h = 0,1):

    \( \displaystyle \begin{array}{l} k_1 = 0,1\left(\frac{0.1}{1}+ 0,5 \times 1,056\right)= 0,062 \\ k_2 = 0,1\left(\frac{0.150}{1,056 + 0,031}+ 0,5 \times (1,056 + 0,031)\right)= 0,068 \\ k_3 = 0,1\left(\frac{0.20}{1,056 + 0,034}+ 0,5 \times (1,056 + 0,034)\right)= 0,068 \\ k_4 = 0,1\left(\frac{0.20}{1,056 + 0,068}+ 0,5 \times (1,056 + 0,068)\right)= 0,074 \end{array} \)
Y esto nos da:
    \( \displaystyle x_{k+2} = 1,056 + \frac{1}{6}(0,062 + 2\times 0,068 + 2\times 0,068 + 0,074)= 1,124 \)
Continuando el proceso, para la tercera aproximación resulta:
k1 = =,074 ; k2 = 0,079 ; k3 = 0,079 ; k4 = 0,085
Y así :
    \( \displaystyle x_{k+3} = 1,124 + \frac{1}{6}(0.074 + 2\times 0,079 + 2\times 0,079 + 0,085)= 1,203 \)
El proceso de aproximaciones continuaría hasta llegar al extremo del intervalo señalado, esto es aplicar la iteracción con t10 = 1 y x9 = para obtener finalmente x10. Es útil escribir los resultados en una tabla

tk 0 0,1 0,2 0,3 ...
xk 1,000 1,056 1,124 1,203 ...
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás