Problemas resueltos de Métodos Matemáticos
Integrar por el método de Runge – Kutta la ecuación:
\( \dot{x} = \frac{t}{x} + 0,5x \)
Sujeta a la condición y(0) = 1, en el intervalo (0, 1).
Tomar T = 0,1
Respuesta del ejercicio 15
Como ya sabemos, el método de Runge – Kutta consiste
en aplicar la ecuación:
\( \displaystyle x_{k+1} = x_k + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3
+ k_4) \)
Siendo:
\( \displaystyle\begin{array}{l} k_1 = T·f(x_k·t_k) \\ k_1 =
T·f(x_k + \frac{1}{2}k_1· t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_3 = T·f(x_k
+ \frac{1}{2}k_2·t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_4 = T·f(x_k + k_3·
t_k+ \frac{1}{2}T) \end{array} \)
Tenemos entonces:
\( \displaystyle \begin{array}{l} k_1 = 0,1\left(\frac{0}{1}+
0,5\times 1\right)= 0,05 \\ k_2 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,25}+0,5(1+
0,025)\right)= 0,056 \\ k_3 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,28}+0,5(1+
0,0285)\right)= 0,056 \\ k_4 = 0,1\left(\frac{0,05}{1+0,6}+0,5(1+
0,056)\right)= 0,052 \end{array} \)
Y de ese modo, la primera aproximación para el proceso
de iteración por el método de Runge - Kutta será:
\( \displaystyle x_{k+1}= 1+ \frac{1}{6}(0,05 + 2\times 0,056
+ 2\times 0,056 + 0,062) = 1,056 \)
Para la segunda aproximación tenemos (ahora t 0
= t 1 + h = 0,1):
\( \displaystyle \begin{array}{l} k_1 = 0,1\left(\frac{0.1}{1}+
0,5 \times 1,056\right)= 0,062 \\ k_2 = 0,1\left(\frac{0.150}{1,056
+ 0,031}+ 0,5 \times (1,056 + 0,031)\right)= 0,068 \\ k_3 =
0,1\left(\frac{0.20}{1,056 + 0,034}+ 0,5 \times (1,056 + 0,034)\right)=
0,068 \\ k_4 = 0,1\left(\frac{0.20}{1,056 + 0,068}+ 0,5 \times
(1,056 + 0,068)\right)= 0,074 \end{array} \)
Y esto nos da:
\( \displaystyle x_{k+2} = 1,056 + \frac{1}{6}(0,062 + 2\times
0,068 + 2\times 0,068 + 0,074)= 1,124 \)
Continuando el proceso, para la tercera aproximación resulta:
k1 = =,074 ; k2 = 0,079 ; k3
= 0,079 ; k4 = 0,085
Y así :
\( \displaystyle x_{k+3} = 1,124 + \frac{1}{6}(0.074 + 2\times
0,079 + 2\times 0,079 + 0,085)= 1,203 \)
El proceso de aproximaciones continuaría hasta llegar al
extremo del intervalo señalado, esto es aplicar la iteracción
con t 10 = 1 y x 9 = para obtener finalmente
x 10. Es útil escribir los resultados en una
tabla
tk |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
... |
xk |
1,000 |
1,056 |
1,124 |
1,203 |
... |
EJERCICIOS
RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS
Y TÉCNICOS |
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