PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 14

El valor real de la solución es:

    \( \displaystyle \dot{x}= \frac{dx}{dt}= -2x \Rightarrow \frac{dx}{2x}= -dt \Rightarrow x = Ke^{-2t} \)
Y si para t = 0 tenemos x(0) = 1000, resulta:

    \( x = 1000e^{-2t} \Rightarrow x(2) = 1000e^{-4}= 1832 \)
El método de Runge – Kutta consiste en aplicar la ecuación:

    \( \displaystyle x_{k+1} = x_k + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \)
Siendo:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} k_1 = Tf(x_kt_k) \\ k_1 = Tf(x_k + \frac{1}{2}k_1 t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_3 = Tf(x_k + \frac{1}{2}k_2t_k+ \frac{1}{2}T) \\ k_4 = Tf(x_k + k_3 t_k+ \frac{1}{2}T) \end{array} \)
Haciendo T = 1 queda:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} k_1 = T(-2)x_1 = -2000 \\ k_2 = T(-2)(1000+\frac{1}{2}k_1)= 0 \\ k_3 = T(-2)(1000+\frac{1}{2}k_2)= -2000 \\ k_4 = T(-2)(1000+ k_3)= +2000 \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_{k+1}= 1000 + \frac{1}{6}[(-2000)+ 2\times 0 + 2\times (-2000) + 2000] = 333,33 \\ x_{k+2}= 333,33 + \frac{1}{6}[(-666,66)+ 2\times 0 + 2\times (-666,66) + 666,66] = 111,13 \\ x_{k+3}= 111,13 + \frac{1}{6}[(-222,26)+ 2\times 0 + 2\times (-222,26) + 222,26] = 37,05 \\ x_{k+4}= 37,05 + \frac{1}{6}[(-74,10)+ 2\times 0 + 2\times (-74,10) + 74,10] = 12,35 \end{array} \)
Reduciendo el intervalo T se mejora la precisión.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás