PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 16

El número de casos posibles es N!. Si llamamos Ai al suceso de que la carta i se introduzca en el sobre i, tenemos para dicho suceso:

    \( \displaystyle P(A_i)= \frac{(N-1)!}{N!} \)
Y la probabilidad de que para algún par de cartas y sobres ocurra el suceso es:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} P\left(\bigcup_{i=1}^N A_i \right) = \sum_{i=1}^NP(A_i)- \sum_{i=1}^NP(A_i\cap A_j)+ \\  \\ + \sum_{i=1}^NP(A_i\cap A_j\cap A_k)- \cdots = \\  \\ {N \choose 1}\frac{(N-1)!}{N!}- {N \choose 2}\frac{(N-2)!}{N!}+ {N \choose 3}\frac{(N-3)!}{N!}- \cdots \\  \\ \cdots + (-1)^{N-1}{N \choose N}\frac{(N-N)!}{N!} \end{array}\)
Es evidente que la probabilidad de tener al menos 0 coincidencias es la unidad, puesto que podemos tener exactamente o coincidencias, o exactamente 1 coincidencia o exactamente 2 coincidencias, etc.
Por otro lado, la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias será igual a la probabilidad total menos la probabilidad de tener alguna coincidencia, es decir:

    \( \displaystyle P = 1 - P\left(\bigcup_{i=1}^N A_i\right) =1 - \left[1 - \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}- \cdots (-1)^{N-1}\frac{1}{N!}\right] \)
Podemos escribir así que la probabilidad de tener exactamente K coincidencias vendrá dada por:

    \( \displaystyle P_k = {N \choose k}\frac{(N-k)!}{N!}\times P_0^{N-k} \)
Donde\({N \choose k}\) denota el número de veces que puede haber k coincidencias y P0N-k es la probabilidad de tener exactamente 0 coincidencias en (N-k) elecciones. La anterior expresión se puede interpretar como sigue:\({N \choose k}ĚN!\) es la probabilidad de que haya k aciertos entre las N cartas y nos quedan (N – k) para las que no debe existir ningún acierto (su probabilidad es P0N-k . Como estas (N – k) cartas se pueden poner de (N – k)! formas distintas, tenemos la expresión dada, que también se puede escribir:

    \( \displaystyle P_k = \frac{1}{k!}\left[1-1+ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+ \cdots + (-1)^{N-k}\frac{1}{(N-k)!} \right] \)
Finalmente, la probabilidad de tener al menos k coincidencias vendrá dada por la probabilidad de tener exactamente k coincidencias más la probabilidad de tener exactamente k + 1 coincidencias, etc., es decir:

    \( \displaystyle P\left(\bigcup _{i=k}^N\right) = P_k + P_{k+1}+ \cdots +P_{N-2}+ P_{N-1} + P_N \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás