PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Calcular eAt para la matriz:
    \( \displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Haciendo uso de la transformada de Laplace.

Respuesta del ejercicio 12

Calculamos la matriz (sI – A)-1:

    \((sI-A)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} s & 0 & 0 \\ -1 & s & 0 \\ -1 & 0 & s-1 \\ \end{array} \right)^{-1} \)
Para invertir la matriz la trasponemos, tomamos menores complementarios y dividimos cada elemento por su determinante:

    \(\left(
    \begin{array}{ccc} s & 0 & 0 \\ -1 & s & 0 \\ -1 & 0 & s-1 \\ \end{array} \right)\Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} s & -1 & -1 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & s-1 \\ \end{array} \right)\Rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1/s & 0 & 0 \\ 1/s^2 & 1/s & 0 \\ 1/s(s-1) & 0 & 1/(s-1) \\ \end{array} \right) \)
Finalmente, tomando antitransformada de Laplace término a término:

    \( e^{At} = \mathfrak{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}\} = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    t & 1 & 0 \\
    e^t-1 & 0 & e^t \\
    \end{array}
    \right) \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás