PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Ejercicios resueltos de metodos matematicos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta del ejercicio 11

Sabemos que se tiene:

    \( \displaystyle e^{At} = a_2A^2t^2 + a_1At + a_0I = \left( \begin{array}{ccc} a_0 & 0 & 0 \\ a_1t & a_0 & 0 \\ a_2t^2+a_1t & 0 & a_2t^2+a_1t+ a_0 \\ \end{array} \right) \)
Para determinar los valores a2, a1 y a0 consideramos el polinomio:

    \(r(\lambda) = a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0 \)

Donde λ es cualquiera de los autovalores de la matriz A:

    \( |A-\lambda I|= 0 \Rightarrow \lambda^2(1-\lambda)\Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = 0 ; \lambda_3 = 1 \)
Puesto que λ = 0 es un autovalor de multiplicidad 2, también cumple la ecuación característica derivada de \(r(\lambda)\) que es:

    \( r'(\lambda)= 2a_2\lambda + a_1 \)
A partir de ahí tendremos:

    \( \begin{array}{l} e^0 = 1 = a_20^2+a_10 + a_0 \quad \Rightarrow a_0 = 1 \textrm{ para } \lambda_1 = 0 \\\\ e^0 = 1 = 2a_20 + a_1 \qquad \qquad \Rightarrow a_0 = 1 \textrm{ para } \lambda_2 = 0\\\\ e^t = a_2t^2 + a_1t + a_0 = a_2t^2 + t + 1 \Rightarrow a_2 = (e^t - t - 1)/t^2 \quad \end{array} \)
Y la matriz buscada será:

    \( \displaystyle e^{At} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ t & 1 & 0 \\ e^t-1 & 0 & e^t \\ \end{array} \right) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás