Ejercicio ocho. Problemas y ejercicios resueltos de Métodos matemáticos para la física

Un avión con tres bombas trata de destruir una línea férrea. La probabilidad de destruir la línea con cualquiera de las bombas es de 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombas?.

Respuesta

Denotemos por A_i el suceso de que la bomba i destruya la línea férrea; se tiene :

P(A_i) = p = 1/3 ; con i = 1,2,3

Si A es el suceso de que la línea quede destruida, podemos escribir :

P(A) = P(A₁A₂A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) – P(A₁A₂) – P(A₁A₃) – P(A₂A₃) + P(A₁A₂A₃) =
3p – 3p² + p³ = 3(1/3) – 3(1/9) + 1/27 = 19/27.

Y, por lo tanto, la probabilidad de que la línea quede destruida es de 19/27.

El problema se puede resolver también como sigue: Sea B_i el suceso de que la bomba i no destruya la línea y B el suceso de que no se destruya la línea. Se tiene :

P(B_i) = 1 – p = 2/3 ; con i = 1,2,3 ; B = B₁ B₂B₃

Como los sucesos B₁, B₂ y B₃ son independientes, resulta :

P(B) = P(B₁).P(B₂).P(B₃) = (2/3)³

Y la probabilidad de que la línea quede destruida vendrá dada por :

P(A) = 1 – P(B) = 1 – (2/3)³ = 19/27

Que, evidentemente, es un resultado coincidente con el anterior.