PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta al ajercicio 7
De acuerdo con las tablas sabemos que se tiene E(1) = 0,3413. Para ver que resultado obtenemos por el método de Monte Carlo, tomamos f(x) = exp(-x²/2). En el intervalo de integración se tiene fmáx = f(0) = 1, por lo que usaremos la tabla de números aleatorios tales que 0 ≤ ξ1 ≤ 1 ; 0 ≤ ξ2 ≤ 1, construida a partir de una tabla de números aleatorios. Tomaremos, de la primera columna, los dos primeros dígitos para ξ1 y los dos últimos para ξ2 . Así podemos poner :

ξ1
ξ2
f( ξ1 )
¿ ξ2 <f( ξ1 )
0,85 0,67 0,70
1
0,07 0,83 0,99
1
0,95 0,83 0,63
0
0,49 0,74 0,88
1
0,97 0,66 0,62
0
0,90 0,74 0,66
0
0,28 0,99 0,96
0
0,25 0,54 0,97
1
0,28 0,85 0,96
1
0,84 0,25 0,70
1
0,41 0,59 0,92
1
0,67 0,34 0,79
1
0,72 0,66 0,77
1
0,92 0,79 0,65
0
0,29 0,87 0,96
1
0,74 0,20 0,76
1
0,03 0,86 0,99
1
0,75 0,85 0,75
0
0,09 0,61 0,99
1
0,75 0,07 0,75
1
0,21 0,33 0,97
1
0,65 0,26 0,81
1
0,84 0,80 0,70
0
0,46 0,79 0,84
1

El tamaño de la muestra es n = 24, y el número de puntos dentro del área de integración, n1 =17. Tenemos entonces :

    \( \begin{array}{l} I = f_{max}(b-a)= 1\times 1 \Rightarrow n_1/n \approx I_1/I \; ; \\  \\ I_1 \approx 0,708 \Rightarrow E(1)= I_1/\sqrt{2\pi} = 0,283 \end{array} \)
Para estudiar el tamaño de muestreo, n que nos de una precisión aceptable y un grado de confianza elevado, debemos considerar :
1º) Variable dicotómica ; es decir, suceptible solo de dos posibles resultados: el punto n estudiado cae dentro o fuera del área
que se calcula.

2º) La variable se distribuye según una ley normal : la media, m , deberá coincidir con el porcentaje (p) del área de la integral respecto al área del rectángulo Xmáx.Ymáx y debe pensarse que será bastante improbable que todos los puntos caigan dentro, así como que todos caigan fuera del área a calcular.
Puesto que la variable es dicotómica, la media para cada muestra vale m = p , y la desviación típica
    \( \sigma = \sqrt{p(1-p)} \)
Si se tomaran varias muestras del mismo tamaño, las medias se distribuirían según una ley normal, de media p y desviación típica \( \sqrt{p(1-p)/n}\) , siendo n el tamaño de cada muestra. Según eso, la media verdadera estaré en el intervalo :

    \(m = p \pm k \sqrt{p(1-p)/n} \)
donde k mide el grado de confianza, que sabemos que es del 68, 26 % para k = 1 , de 95, 44 % para k = 2 , y de 99, 74 % para k = 3.
El posible error cometido nos viene dado por :

    \( \varepsilon = k \sqrt{p(1-p)/n}\Rightarrow n = p(1-p)·(k/\varepsilon)^2 \)
Como en el caso que estamos estudiando se piden para I1 cuatro cifras significativas, será \(\varepsilon = \sqrt{2\pi/19^4}\). Además, hemos obtenido p = 0,7083 ~ 0,7 , por lo que, suponiendo k = 2, el tamaño requerido de la muestra será :

    \( n = (4\times 10^8 \times 0,7 \times 0,3)/ 2\pi = 1,3 \times 10^7 \)
Es decir, se necesitan millones de puntos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás