Utilizando
el método de Monte Carlo, calcular el valor de la expresión
:
correspondiente a la ley normal reducida. ¿Cual debería ser el tamaño n del muestreo de puntos para obtener el valor que dan las tablas con cuatro cifras decimales?
, construida
a partir de una tabla de números aleatorios. Tomaremos, de la primera
columna, los dos primeros dígitos para 
1
y los dos últimos para 2
. Así podemos poner :
El tamaño de la muestra es n = 24, y el número de puntos dentro del área de integración, n1 =17. Tenemos entonces :
Para estudiar el tamaño de muestreo, n que nos de una precisión aceptable y un grado de confianza elevado, debemos considerar :
.
Si se tomaran varias muestras del mismo tamaño, las medias se distribuirían según una ley normal, de media p y desviación típica
, siendo
n el tamaño de cada muestra. Según eso, la media verdadera
estaré en el intervalo :
donde k mide el grado de confianza, que sabemos que es del 68, 26 % para k = 1 , de 95, 44 % para k = 2 , y de 99, 74 % para k = 3.
El posible error cometido nos viene dado por :
Como en el caso que estamos estudiando se piden para I1 cuatro cifras significativas, será
.
Además, hemos obtenido p = 0,7083 ~ 0,7 , por lo que, suponiendo
k = 2, el tamaño requerido de la muestra será :
Es decir, se necesitan millones de puntos.
correspondiente a la ley normal reducida. ¿Cual debería ser el tamaño n del muestreo de puntos para obtener el valor que dan las tablas con cuatro cifras decimales?
RespuestaDe acuerdo con las tablas sabemos que se tiene E(1) = 0,3413. Para ver que resultado obtenemos por el método de Monte Carlo, tomamos f(x) = exp(-x2/2). En el intervalo de integración se tiene fmáx = f(0) = 1, por lo que usaremos la tabla de números aleatorios tales que
, construida
a partir de una tabla de números aleatorios. Tomaremos, de la primera
columna, los dos primeros dígitos para 1
y los dos últimos para 2
. Así podemos poner :| 1
|
2
|
f( 1
) |
¿ 2
<f(1
) |
0,85 |
0,67 |
0,70 |
1 |
0,07 |
0,83 |
0,99 |
1
|
0,95 |
0,83 |
0,63 |
0 |
0,49 |
0,74 |
0,88 |
1 |
0,97 |
0,66 |
0,62 |
0 |
0,90 |
0,74 |
0,66 |
0 |
0,28 |
0,99 |
0,96 |
0 |
0,25 |
0,54 |
0,97 |
1 |
0,28 |
0,85 |
0,96 |
1 |
0,84 |
0,25 |
0,70 |
1 |
0,41 |
0,59 |
0,92 |
1 |
0,67 |
0,34 |
0,79 |
1 |
0,72 |
0,66 |
0,77 |
1 |
0,92 |
0,79 |
0,65 |
0 |
0,29 |
0,87 |
0,96 |
1 |
0,74 |
0,20 |
0,76 |
1 |
0,03 |
0,86 |
0,99 |
1 |
0,75 |
0,85 |
0,75 |
0 |
0,09 |
0,61 |
0,99 |
1 |
0,75 |
0,07 |
0,75 |
1 |
0,21 |
0,33 |
0,97 |
1 |
0,65 |
0,26 |
0,81 |
1 |
0,84 |
0,80 |
0,70 |
0 |
0,46 |
0,79 |
0,84 |
1 |
El tamaño de la muestra es n = 24, y el número de puntos dentro del área de integración, n1 =17. Tenemos entonces :
Para estudiar el tamaño de muestreo, n que nos de una precisión aceptable y un grado de confianza elevado, debemos considerar :
1º) Variable dicotómica ; es decir, suceptible solo de dos posibles resultados: el punto n estudiado cae dentro o fuera del áreaPuesto que la variable es dicotómica, la media para cada muestra vale m = p , y la desviación típica
que se calcula.
2º) La variable se distribuye según una ley normal : la media, m , deberá coincidir con el porcentaje (p) del área de la integral respecto al área del rectángulo Xmáx.Ymáx y debe pensarse que será bastante improbable que todos los puntos caigan dentro, así como que todos caigan fuera del área a calcular.
.Si se tomaran varias muestras del mismo tamaño, las medias se distribuirían según una ley normal, de media p y desviación típica
, siendo
n el tamaño de cada muestra. Según eso, la media verdadera
estaré en el intervalo :donde k mide el grado de confianza, que sabemos que es del 68, 26 % para k = 1 , de 95, 44 % para k = 2 , y de 99, 74 % para k = 3.
El posible error cometido nos viene dado por :
Como en el caso que estamos estudiando se piden para I1 cuatro cifras significativas, será
.
Además, hemos obtenido p = 0,7083 ~ 0,7 , por lo que, suponiendo
k = 2, el tamaño requerido de la muestra será :Es decir, se necesitan millones de puntos.