Problemas resueltos de Métodos Matemáticos - Respuesta 7

De acuerdo con las tablas sabemos que se tiene E(1) = 0,3413. Para ver que resultado obtenemos por el método de Monte Carlo, tomamos f(x) = exp(-x²/2). En el intervalo de integración se tiene f_máx = f(0) = 1, por lo que usaremos la tabla de números aleatorios tales que 0 ≤ ξ₁ ≤ ; 0 ≤ ξ₂ ≤ , construida a partir de una tabla de números aleatorios. Tomaremos, de la primera columna, los dos primeros dígitos para ξ₁ y los dos últimos para ξ₂ . Así podemos poner :

ξ1	ξ2	f( ξ1 )	¿ ξ2 <f( ξ1 )
0,85	0,67	0,70	1
0,07	0,83	0,99	1
0,95	0,83	0,63	0
0,49	0,74	0,88	1
0,97	0,66	0,62	0
0,90	0,74	0,66	0
0,28	0,99	0,96	0
0,25	0,54	0,97	1
0,28	0,85	0,96	1
0,84	0,25	0,70	1
0,41	0,59	0,92	1
0,67	0,34	0,79	1
0,72	0,66	0,77	1
0,92	0,79	0,65	0
0,29	0,87	0,96	1
0,74	0,20	0,76	1
0,03	0,86	0,99	1
0,75	0,85	0,75	0
0,09	0,61	0,99	1
0,75	0,07	0,75	1
0,21	0,33	0,97	1
0,65	0,26	0,81	1
0,84	0,80	0,70	0
0,46	0,79	0,84	1

El tamaño de la muestra es n = 24, y el número de puntos dentro del área de integración, n₁ =17. Tenemos entonces :



Para estudiar el tamaño de muestreo, n que nos de una precisión aceptable y un grado de confianza elevado, debemos considerar :

1º) Variable dicotómica ; es decir, suceptible solo de dos posibles resultados: el punto n estudiado cae dentro o fuera del área
que se calcula.

2º) La variable se distribuye según una ley normal : la media, m , deberá coincidir con el porcentaje (p) del área de la integral respecto al área del rectángulo X_máx.Y_máx y debe pensarse que será bastante improbable que todos los puntos caigan dentro, así como que todos caigan fuera del área a calcular.

Puesto que la variable es dicotómica, la media para cada muestra vale m = p , y la desviación típica .

Si se tomaran varias muestras del mismo tamaño, las medias se distribuirían según una ley normal, de media p y desviación típica , siendo n el tamaño de cada muestra. Según eso, la media verdadera estaré en el intervalo :



donde k mide el grado de confianza, que sabemos que es del 68, 26 % para k = 1 , de 95, 44 % para k = 2 , y de 99, 74 % para k = 3.
El posible error cometido nos viene dado por :



Como en el caso que estamos estudiando se piden para I₁ cuatro cifras significativas, será . Además, hemos obtenido p = 0,7083 ~ 0,7 , por lo que, suponiendo k = 2, el tamaño requerido de la muestra será :



Es decir, se necesitan millones de puntos.