PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

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Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta al ajercicio 6
Un sistema lineal tal como el del ejemplo no puede duplicar la frecuencia, es decir, no existe G(w) tal que para dichas señales se cumpla :
Y(w) = G(w).X(w)
donde Y(w) y X(w) son las transformadas de Fourier de x(t) e y(t) respectivamente.

En efecto, recordando que G(w) se define por :

    \( \displaystyle G(w) = \frac{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}C(\tau)\exp(-iw\tau)d\tau}{\displaystyle \int_0^{+\infty}R(\tau)\cos(iw\tau)d\tau} \)
En el caso que nos ocupa tenemos

    \( \displaystyle R_x(\tau) = \frac{1}{T}\int_0^T x(t)x(t+\tau)dt = \frac{w}{2\pi}\int_0^{2\pi/w}\sin(wt)\sin [w(t+\tau)]dt = \)

    \( \displaystyle = \frac{w}{2\pi}\int_0^{2\pi/w}[\sin^2(wt)\cos (w\tau)+ \sin (wt)\cos (wt)\sin (w\tau)]dt \)

    \( \displaystyle = \left[\frac{w}{2\pi}\cos(w\tau)\frac{1}{2}\left[t - \frac{1}{2w}\sin(2wt)\right] + \sin (w\tau)\frac{\sin^2(wt)}{2w}\right]_0^{2\pi/w} = \frac{1}{2}\cos (w\tau) \)

y además

    \( \displaystyle C(\tau)= \langle y(t), x(t+\tau)\rangle = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}\quad \int_{-T/2}^{-T/2}y(t)x(t+\tau)dt = \)

    \( \displaystyle = \frac{w}{2\pi}\int_0^{2\pi/w}\sin (2wt)\sin[w(t+\tau)]dt = \)

    \( \displaystyle = \frac{w}{2\pi}\int_0^{2\pi/w}[\cos (w\tau)\sin (2wt)\sin (wt) + \sin (w\tau)\sin (2wt)\cos (wt)]dt = \)

    \( \displaystyle = \frac{w}{2\pi}\int_0^{2\pi/w}2[\cos (w\tau)\cos (wt)\sin^2 (wt) + \sin (w\tau)\sin (2wt)\cos^2 (wt)]dt = \)

    \( \displaystyle = \frac{w}{\pi}\left[\frac{\cos (w\tau)}{3w}\sin^3(wt)-\frac{\sin (w\tau)}{3w}\cos^3(wt)\right]_0^{2\pi/w} = 0 \)
De estos dos resultados, llevándolos a la expresión de G(w), se desprende que G(w) = O , por lo que hemos demostrado lo que nos proponíamos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás