Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Un proceso estocástico tiene la función de correlación :

\( R(\tau)\left\{ \begin{array}{l} 1- |\tau| \qquad si |\tau| \leq 1 \\ \\ 0 \quad si \;|\sigma| > 1 \end{array}\right. \)

a) ¿Es este proceso ergódico?¿Cual es su tiempo de correlación? b) Determinar la correspondiente densidad espectral de potencia.

Respuesta al ajercicio 4

Se dice que un proceso es ergódico cuando se cumple :

\( \displaystyle \lim_{\tau\rightarrow \infty}\quad R(\tau)= 0 \)

En nuestro caso, considerando el enunciado, podemos ver fácilmente que tenemos un proceso que si es ergódico.
El tiempo de correlación señala el valor a partir del cual se anula \(R(\tau)\) ; en nuestro para \(\sigma_c =1\) .
La densidad espectral de potencia se obtiene aplicando el teorema de Wiener:

\( \displaystyle S(w) = 2\int_0^\infty \cos (w\tau)R(\tau)d\tau = 2\int_0^\infty \cos (w\tau)(1-\tau)d\tau = \)

\( \displaystyle = 2\left[\frac{1-\tau}{w}·\sin (w\tau)- \frac{1}{w^2}·\cos (w\tau)\right]_0^1 = \frac{2}{w^2}(1 - \cos w) \)