PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de métodos numéricos

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de metodos matematicos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Problemas resueltos de Métodos Matemáticos

Respuesta al ajercicio 3
Para resolver el problema podemos considerar la función:

    \( \displaystyle x(t)= 1 - \frac{2}{T}|t| \)
que también se puede escribir:

    \( \displaystyle x(t)= \left\{ \begin{array}{l} 1 + \frac{2}{T}·t \quad si \; - \frac{T}{2}\leq t \leq 0 \\ \\ 1 - \frac{2}{T}·t \quad si \; 0 \leq t \leq \frac{T}{2}\end{array}\right. \)
Para determinar su función de correlación sabemos que se verifica:

    \( \displaystyle R(\tau) = \langle x(t), x(t+\tau) \rangle = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t) x(t+\tau)dt \)
Vamos a suponer primero que se tiene \(0 \leq \tau \leq T/2\) , entonces, recordando que el integrando depende del valor que tomen las variables \(t\; y\; t + \tau \) , podemos escribir :

    \( \displaystyle R(\tau)= \frac{1}{T}\left\{\int_{-T/2}^{-\tau}\left(1 + \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt + \int_{-\tau}^0\left(1 + \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt\right. \)

    \( \displaystyle+ \left.\int^{(T/2)-\tau}_0\left(1 - \frac{2}{T}t\right)\left[1 - \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt + \int_{(T/2) -\tau}^{T/2}\left(1 - \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt\right\} \)
La separación de integrales y los valores de los integrandos se desprenden de la figura adjunta, a partir de la cual hemos hecho lo siguiente :

Comenzando en (-T/2), por ordenadas, llegamos al punto * , donde cambia la función integrando. En dicho punto se tiene :

    \( \displaystyle 1 + \frac{2}{T}|t+\tau|= 1 \Rightarrow t = -\tau \)
El siguiente punto en el que hay cambio de integrando es el 0. El tercero de ellos, Resulta de poner:

    \( \displaystyle 1 + \frac{2}{T}|t+\tau|= 0 \Rightarrow t +\tau = \frac{T}{2}\Rightarrow t = \frac{T}{2}- \tau \)
El proceso para los demás puntos es análogo al desarrollado. Tomando ahora el intervalo \(T/2 \leq \tau \leq T\) , podemos poner :



    \( \displaystyle R(\tau)= \frac{1}{T}\left\{\int_{-T/2}^{-\tau}\left(1 + \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt + \int_{-\tau}^0\left(1 + \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt\right. \)

    \( \displaystyle+ \left.\int^{(T)-\tau}_0\left(1 - \frac{2}{T}t\right)\left[1 - \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt + \int_{(T) -\tau}^{T/2}\left(1 - \frac{2}{T}t\right)\left[1 + \frac{2}{T}(t+ \tau)\right]dt\right\} \)
Nota.- La razón del límite \(T- \tau\) es la siguiente :

    \( \displaystyle 1 - \frac{2}{T}|t+\tau| = 1 \Rightarrow \frac{2}{T}|t+\tau| = 0 \Rightarrow t = -\tau \)
Pero τ es estrictamente positivo por estar en el intervalo \(T/2 \leq \tau \leq T\) y no podemos poner \(t= - \tau\) , porqué a partir de 0, t es positiva. No obstante, como la función es periódica, de período T, se cumplirá :

    \( x(t) = x(t+T)\Rightarrow t = -\tau \Leftrightarrow t = T - \tau \)
y se verifican los límites requeridos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIEROS Y TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás