PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica y dinámica

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Ejercicios de mecánica


Un cilindro de 5 kg de masa, macizo y homogéneo, con un radio de 20 cm, gira alrededor de su eje radial, fijado en posición horizontal, por la acción de una pesa de 0,2 kg que cuelga del extremo de una cuerda inextensible y sin peso arrollada al cilindro. Calcular la aceleración angular del cilindro y lineal de la pesa durante el movimiento, el valor del par que origina el movimiento y la tensión de la cuerda.

Respuesta al ejercicio 50

Podemos representar las fuerzas que actúan sobre el cilindro en el esquema adjunto:
esquema mecánico de cilindro con pesa

Estas fuerzas son la tensión de la cuerda, T, el peso del cilindro, Mg, y la fuerza de sustentación de este, F, estando las dos últimas aplicadas sobre el punto O que representa el centro de la sección del cilindro.

Si aplicamos el teorema del centro de masa al cilindro, tendremos:
    \( F - T - Mg = 0 \Rightarrow F = T + Mg \)
Y el teorema de conservación del momento cinético nos permite escribir:
    \( \displaystyle T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha \qquad (*) \)
Donde R es el radio del cilindro y \( \alpha \) su aceleración angular.

Por otra parte, si consideramos la pesa que cuelga de la cuerda, las fuerzas que actúan sobre ella son su propio peso, mg, y la tensión de la cuerda, con lo cual, la aplicación de la segunda ley de Newton nos da:
    \(mg - T = ma \Rightarrow T = mg - ma \Rightarrow T \times R = mgR - maR\)
Y de ahí:
    \( \displaystyle T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha = mgR - mRa\)
Pero entre la aceleración lineal de la pesa, a, y la aceleración angular del cilindro, \( \alpha \) existe la relación \( a = \alpha R \), con lo cual:
    \( \displaystyle mgR = \frac{1}{2}MR^2 \alpha + mR^2 \alpha = \left[\frac{1}{2}M + m\right]R^2 \alpha\)
Y de ahí:
    \( \alpha = \displaystyle \frac{mg}{R\left(\frac{M}{2} + m\right)} = 3,63\, rd/s \quad \Rightarrow a = R \alpha = \frac{mg}{\frac{M}{2} + m} = 0,726\, m/s \)
El par que origina el movimiento lo podemos calcular aplicando la ecuación (*) y teniendo en cuenta el valor obtenido para la aceleración angular del cilindro:
    \( \displaystyle M = T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha = \frac{1}{2}MR^2 \times \frac{mg}{R\left(\displaystyle \frac{M}{2} + m\right)} = 0,336 N m\)
Finalmente, la tensión de la cuerda valdrá:
    \( \displaystyle T = \frac{M}{R} = \frac{1}{2}MT\alpha = \frac{Mmg}{M + 2m} = 1,815 N\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás