PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 50

Podemos representar las fuerzas que actúan sobre el cilindro en el esquema adjunto:
esquema mecánico de cilindro con pesa

Estas fuerzas son la tensión de la cuerda, T, el peso del cilindro, Mg, y la fuerza de sustentación de este, F, estando las dos últimas aplicadas sobre el punto O que representa el centro de la sección del cilindro.

Si aplicamos el teorema del centro de masa al cilindro, tendremos:
    \( F - T - Mg = 0 \Rightarrow F = T + Mg \)
Y el teorema de conservación del momento cinético nos permite escribir:
    \( \displaystyle T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha \qquad (*) \)
Donde R es el radio del cilindro y \( \alpha \) su aceleración angular.

Por otra parte, si consideramos la pesa que cuelga de la cuerda, las fuerzas que actúan sobre ella son su propio peso, mg, y la tensión de la cuerda, con lo cual, la aplicación de la segunda ley de Newton nos da:
    \(mg - T = ma \Rightarrow T = mg - ma \Rightarrow T \times R = mgR - maR\)
Y de ahí:
    \( \displaystyle T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha = mgR - mRa\)
Pero entre la aceleración lineal de la pesa, a, y la aceleración angular del cilindro, \( \alpha \) existe la relación \( a = \alpha R \), con lo cual:
    \( \displaystyle mgR = \frac{1}{2}MR^2 \alpha + mR^2 \alpha = \left[\frac{1}{2}M + m\right]R^2 \alpha\)
Y de ahí:
    \( \alpha = \displaystyle \frac{mg}{R\left(\frac{M}{2} + m\right)} = 3,63\, rd/s \quad \Rightarrow a = R \alpha = \frac{mg}{\frac{M}{2} + m} = 0,726\, m/s \)
El par que origina el movimiento lo podemos calcular aplicando la ecuación (*) y teniendo en cuenta el valor obtenido para la aceleración angular del cilindro:
    \( \displaystyle M = T \times R = \frac{1}{2}MR^2 \alpha = \frac{1}{2}MR^2 \times \frac{mg}{R\left(\frac{M}{2} + m\right)} = 0,336 N m\)
Finalmente, la tensión de la cuerda valdrá:
    \( \displaystyle T = \frac{M}{R} = \frac{1}{2}MT\alpha = \frac{Mmg}{M + 2m} = 1,815 N\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás