PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica y dinámica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Dos deportistas J1 y J2, están en el instante t = 0 sobre un mismo campo de juego de tal manera que el jugador J2 está a una distancia d, hacia el norte, del jugador J1.

El jugador J1 se dirije hacia el norte del campo de juego a una velocidad v1 mientras el jugador J2 se dirije hacia el este con una velocidad v2. Suponiendo un campo de tamaño indefinido, ¿Cual será la distancia mínima entre los dos jugadores.

Si el jugador J2 se dirije hacia el este del campo de juego con velocidad constante v2, ¿Que dirección debe tomar el jugador J1 para alcanzar a su rival en línea recta?. Determinar el tiempo empleado para ello.

Respuesta al ejercicio 48

Sean \(P_{J1} \textrm{ y } P_{J2}\) las posiciones iniciales de los jugadores. Elegimos los ejes \(P_{J1} X\) hacia el Este y \(P_{J2} Y\) hacia el norte; las coordenadas en el instante t de cada uno de los jugadores son:
    \( P_{J1}(0, \; v_1) \quad ; \quad P_{J2}(v_2, \; d)\)
De manera que la distancia entre ellos en el instante t viene dada por la ecuación :
    \( \delta(t) = \sqrt{v_2^2t^2 + (d - v_1t)^2} \qquad (*) \)
Y su derivada respecto al tiempo,
    \(\displaystyle \frac{d\delta(t)}{dt} = \frac{\left[2 v_2^2t - 2v_1(d - v_1t)\right]}{\sqrt{v_2^2t^2 + (d - v_1t)^2}}\)
Se anula en el instante:
    \( \displaystyle t_m = \frac{d v_1}{v_1^2 + v_2^2}\)
Que nos da la distancia mínima a la que llegarán a encontrarse los dos jugadores. Sustituyendo el valor de t resultante en la ecuación (*) obtenemos para la distancia mínima:
    \( \displaystyle \delta(t_m)\sqrt{\frac{d^2 v_1^2 v_2^2}{(v_1^2 + v_2^2)^2} + \left(d - \frac{dv_1^2}{v_1^2 + v_2^2}\right)^2} = \frac{dv_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \)
Si es \( \theta\) el ángulo de la dirección que toma el jugador J1, las coordenadas en el instante t de ambos jugadores serán:
    \( P_{J1}(v_1t\,\cos \theta, \; v_1t\,\sin \theta) \quad ; \quad P_{J2}(v_2, \; d)\)
Los jugadores se cruzarán en un punto P, si existe un instante t para el que se cumpla simultáneamente:
    \( v_1t\,\cos \theta = v_2 t \qquad ; \qquad v_1t\,\sin \theta = d \)
El jugador J1 sólo podrá alcanzar al jugador J2 si se tiene \( v_1 > v_2\) y la dirección que debe tomar el jugador J1 vendrá dada por :
    \( \displaystyle \cos \theta \frac{v_2}{v_1}\)
Y el cruce tendrá lugar en el instante:
    \( \displaystyle t_1 = \frac{a}{v_1 \sin \theta} = \frac{d}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás