PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 48

Sean \(P_{J1} \textrm{ y } P_{J2}\) las posiciones iniciales de los jugadores. Elegimos los ejes \(P_{J1} X\) hacia el Este y \(P_{J2} Y\) hacia el norte; las coordenadas en el instante t de cada uno de los jugadores son:
    \( P_{J1}(0, \; v_1) \quad ; \quad P_{J2}(v_2, \; d)\)
De manera que la distancia entre ellos en el instante t viene dada por la ecuación :
    \( \delta(t) = \sqrt{v_2^2t^2 + (d - v_1t)^2} \qquad (*) \)
Y su derivada respecto al tiempo,
    \(\displaystyle \frac{d\delta(t)}{dt} = \frac{\left[2 v_2^2t - 2v_1(d - v_1t)\right]}{\sqrt{v_2^2t^2 + (d - v_1t)^2}}\)
Se anula en el instante:
    \( \displaystyle t_m = \frac{d v_1}{v_1^2 + v_2^2}\)
Que nos da la distancia mínima a la que llegarán a encontrarse los dos jugadores. Sustituyendo el valor de t resultante en la ecuación (*) obtenemos para la distancia mínima:
    \( \displaystyle \delta(t_m)\sqrt{\frac{d^2 v_1^2 v_2^2}{(v_1^2 + v_2^2)^2} + \left(d - \frac{dv_1^2}{v_1^2 + v_2^2}\right)^2} = \frac{dv_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}} \)
Si es \( \theta\) el ángulo de la dirección que toma el jugador J1, las coordenadas en el instante t de ambos jugadores serán:
    \( P_{J1}(v_1t\,\cos \theta, \; v_1t\,\sin \theta) \quad ; \quad P_{J2}(v_2, \; d)\)
Los jugadores se cruzarán en un punto P, si existe un instante t para el que se cumpla simultáneamente:
    \( v_1t\,\cos \theta = v_2 t \qquad ; \qquad v_1t\,\sin \theta = d \)
El jugador J1 sólo podrá alcanzar al jugador J2 si se tiene \( v_1 > v_2\) y la dirección que debe tomar el jugador J1 vendrá dada por :
    \( \displaystyle \cos \theta \frac{v_2}{v_1}\)
Y el cruce tendrá lugar en el instante:
    \( \displaystyle t_1 = \frac{a}{v_1 \sin \theta} = \frac{d}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás