PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 47

Reproducimos aquí el esquema representado en el ejercicio anterior,
Sistema mecánico de una varilla apoyada sobre una pared vertical

donde podemos comprobar con facilidad que la distancia entre el punto medio de la varilla, G, y la pared viene dada por la ecuación :
    \( d = a·\sin \theta\)
Con lo que podremos expresar el valor de la componente horizontal de la aceleración del punto G mediante :
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}(a·\sin \theta) = a(\ddot{\theta} \, \cos \theta - \dot{\theta}^2 \sin \theta )\)
Y a partir de ahí escribir para el sistema de fuerzas externas que actúan horizontalmente sobre la varilla:
    \( P = M a(\ddot{\theta} \, \cos \theta - \dot{\theta}^2 \sin \theta) \qquad (*) \)
Por otro lado, derivando con respecto a t la ecuación final obtenida en el ejercicio anterior obtenemos:
    \( 2\dot{\theta} \, \ddot{\theta} = \displaystyle \frac{3 g}{2a}\dot{\theta} \sin \theta\)
De manera que tenemos para \(\dot{\theta}^2 \textrm{ y } \ddot{\theta} \):
    \( \displaystyle \dot{\theta}^2 = \frac{3g}{2a}(\cos \alpha - \cos \theta) \quad ; \quad \ddot{\theta} = \frac{3 g}{4a}\dot{\theta} \sin \theta \)
Y así podemos expresar la ecuación (*) en la forma:
    \( P = \displaystyle \frac{3Mg}{4}(3\cos \theta - 2 \cos \alpha)\sin \theta\)
Por otro lado, la componente vertical de la aceleración del punto G vendrá dada por:
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}(a \cos \theta) = - a(\ddot{\theta} \sin \theta + \dot{\theta}^2 \cos \theta)\)
Y recordando los valores para \(\dot{\theta}^2 \textrm{ y } \ddot{\theta} \):
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}(a \cos \theta) = - \frac{3g}{4}(1 + 2 \cos \theta \cos \alpha - 3 \cos^2 \theta)\)
Con lo que para la composición de fuerzas en la coordenada vertical resultará:
    \( \displaystyle Q = Mg - \frac{3gM}{4}(1 + 2 \cos \theta \cos \alpha - 3 \cos^2 \theta)\)
Y haciendo operaciones:
    \( \displaystyle Q = \frac{gM}{4}(1 + 9 \cos^2 \theta - 6 \cos \theta \cos \alpha)\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás