PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 46

El sistema a considerar sólo está sujeto a la acción de la gravedad por lo que suponiendo que no existe rozamiento las fuerzas que actúan sobre él serán conservativas.

sistema de varilla sobre una pared vertical


En esas condiciones, sean P y Q las reacciones sin rozamiento de la pared y el piso sobre la varilla y Mg el peso de la misma actuando sobre su centro G.

El principio de conservación de la energía nos permite escribir:
    energía cinética + energía potencial = constante
Y la energía potencial del sistema analizado podemos equipararla al trabajo que efectúan las fuerzas internas y externas al moverse el sistema de una configuración a otra.

En el caso que estamos estudiando, el peso es una fuerza conservativa y siendo \( 2a \) la longitud de la varilla, el trabajo que realiza dicha fuerza cuando la varilla se mueve de su posición inicial, representada en la figura, a una posición horizontal sobre el suelo, vale:
    \( Mg· a\cos \theta\)
que es, según lo visto, la energía potencial de la varilla.

Si trazamos un semicírculo de diámetro 2a y que pase por O, se cumplirá:
    \( OG = GA = GB = a\)
Y por lo tanto, el triángulo GOA es isósceles y el ángulo \(\widehat{GOA}\) es igual al ángulo \(\widehat{GAO} = \theta \) con lo que deducimos que el punto central de la varilla, G, describe una circunferencia con centro en O y radio \(a\) con velocidad angular \( \dot{\theta} \)

El momento de inercia de la varilla alrededor de su punto central, G, es
    \( I = \displaystyle \frac{1}{3}Ma^2 \)
Y la velocidad angular de la varilla alrededor de dicho punto central es también \( \dot{\theta} \), con lo que la energía cinética de la varilla, deducida de la ecuación general:
    \( T = \displaystyle \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I_G \omega^2\)
valdrá:
    \( T = \displaystyle \frac{1}{2}M(a \dot{\theta})^2 + \frac{1}{2} · \frac{1}{3}Ma^2\dot{\theta})^2 = \frac{2}{3}M(a \dot{\theta})^2 \)
La ecuación de conservación de la energía para el movimiento de la varilla será, según lo visto:
    \( \displaystyle \frac{2}{3}M(a \dot{\theta})^2 + Mga \cos \theta = constante \)
Si consideramos que la inclinación inicial de la varilla con respecto a la pared es \( \alpha \), tendremos \( \dot{\theta} = 0 \) cuando \( \theta = \alpha \) y así:
    \( \displaystyle \left. \frac{2}{3}M(a \dot{\theta})^2 + Mga \cos \theta \right|_{\theta = \alpha} = constante = Mga \cos \alpha \)
Y de ese modo:
    \( \displaystyle \dot{\theta}^2 = \frac{3g}{2a}(\cos \alpha - \cos \theta) \)
Que es la ecuación diferencial que determina el movimiento de la varilla siempre que esta permanezca en contacto con la pared.
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tema escrito por: José Antonio Hervás