PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 43

Para resolver este problema tenemos en cuenta el esquema adjunto:

rueda girando sin deslizar


En el instante t la rueda está tocando al eje Ox en el punto I de abcisa \( v_ot \). La posición del punto P puede darse a partir del ángulo \(\varphi \) definido por:
    \( \varphi = (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CI})\)
Y el giro sin deslizamiento impone la condición:
    \( r \varphi = v_o t \Rightarrow \varphi = \displaystyle \frac{v_o}{r}t \qquad (*) \)
con lo que podemos escribir:
    \( x_P = v_ot - r sen \,\varphi \quad ; \quad y_P = r - r cos \,\varphi\)
Y sustituyendo \( \varphi por su valor según la ecuación (*):
    \( x_P = \displaystyle r\left(\frac{v_o}{r}t - sen \, \frac{v_o}{r}t\right) \quad ; \quad y_P = r\left(1 - cos \, \frac{v_o}{r}t\right)\)
Y podemos decir que la trayectoria de P es una cicloide que en el esquema viene marcada con la linea a trazos.

Podemos obtener las componentes del vector velocidad, derivando respecto al tiempo cada una de las ecuaciones anteriores, es decir:
    \( \displaystyle \frac{dx_P}{dt} = v_o\left(1 - cos \, \frac{v_o}{r}t\right) \quad ; \quad \frac{dy_P}{dt} = v_o \, sen \, \frac{v_o}{r}t\)
y el módulo del vector velocidad vendrá dado por la ecuación:
    \( \displaystyle v^2 = \left(\frac{dx_P}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy_P}{dt} \right)^2 \)
y operando:
    \( \displaystyle v^2 = 2 v_o^2 \left(1 - cos \, \frac{v_o}{r} \right) = 4v_o^2 sen^2 \frac{v_o}{2r}t \Rightarrow v = 2v_o \left|sen \, \frac{v_o}{2r}t\right|\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás