PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 41

La velocidad y la aceleración vienen dadas, respectivamente por las ecuaciones:
    \( \vec{v} = \displaystyle \frac{d\vec{r}}{dt} \quad ; \quad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\)
por lo que aplicando dichas ecuaciones al vector de posición dado en el enunciado del problema, tendremos respectivamente para la velocidad y la aceleración:
    \( \vec{v} = \displaystyle \frac{d}{dt} \left(t^2 \vec{i}+ t\vec{j} + \vec{k} \right) = 2t\vec{i} + \vec{j} \quad ; \quad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2 \vec{i} \)
Para determinar las componentes intrínsecas tenemos en cuenta que la velocidad siempre es tangente a la trayectoria y , por lo tanto, su única componente intrínseca será tangencial. Tendremos así:
    \( |v| = \sqrt{4t^2 + 1} \quad \rightarrow \quad \vec{v} = \sqrt{4t^2 + 1} \vec{\tau}\)
Donde \( |v| \) es el módulo y \( \vec{\tau}\) designa el vector unitario tangente a la trayectoria.

La aceleración, al contrario que la velocidad, suele tener dos componentes intrínsecas, la tangencial, ligada a las variaciones del módulo de la velocidad y la normal, que aparece con los cambios de dirección de la velocidad; tendremos en general:
    \( \vec{a} = a_n \vec{n} + a_t \vec{\tau}\)
Sabiendo que la aceleración tangencial es la derivada respecto al tiempo del módulo de la velocidad, tendremos:
    \( a_t = \displaystyle \frac{d|v|}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sqrt{4t^2 + 1}\right) = \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 1}}\)
Para calcular la componente normal de la aceleración recordamos que se cumple:
    \( |a|^2 = a_n^2 + a_t^2 = 2^2\)
y recordando el valor obtenido para la componente tangencial:
    \( a_n^2 = \displaystyle 2^2 - a_t^2 = 2^2 - \frac{16t^2}{4t^2 + 1} = \frac{4}{4t^2 + 1} \Rightarrow a_n = \frac{2}{\sqrt{4t^2 + 1}}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás