PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica y dinámica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Un cuerpo de masa m se proyecta desde la superficie de la tierra con velocidad inicial vo. Se supone despreciable el rozamiento del aire y se toma en consideración la variación del campo gravitatorio con la altura. Calcular la velocidad de escape.

Respuesta al ejercicio 24

El valor de la fuerza de la gravedad viene dado por:
    \( \displaystyle F_G = G\times \frac{m}{(x+R)^2} \)
Siendo G la constante de gravitación y R el radio de la Tierra.
Podemos eliminar de la anterior ecuación G teniendo en cuenta que cuando la distancia al centro de la Tierra es R la fuerza vale mg, es decir:
    \( \displaystyle mg = G\times \frac{m}{R^2}\Rightarrow G = g愛^2 \)
Y, por consiguiente, tenemos:
    \( \displaystyle F_G = \frac{m搽愛^2}{(x+R)^2} \)
Con lo que la ecuación del movimiento será:
    \( \displaystyle m愧frac{dv}{dt} = - \frac{m搽愛^2}{(x+R)^2} \Rightarrow \frac{dv}{dt} = - \frac{g愛^2}{(x+R)^2} \)
Pero se tiene:
    \( \displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}愧frac{dx}{dt} = v愧frac{dv}{dx} \)
Y la ecuación queda en la forma:
    \( \displaystyle v搞v = -\frac{g愛^2}{(x+R)^2}dx \Rightarrow \frac{1}{2}v^2 = \frac{g愛^2}{(x+R)} + C \)
Podemos eliminar la constante de integración sabiendo que se tiene v(0) = vo:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}v_o^2 = g愛 + C \Rightarrow v^2 = v_o^2 - 2g愛 + \frac{g愛^2}{(x+R)} \)
A partir de ahí, podemos decir que la velocidad de escape vendrá dada por:
    \( \displaystyle v^2 - 2g愛 \geq 0 \Rightarrow v_e^2 - 2g愛 = 0 \Rightarrow v_e = \sqrt{2g愛} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás