PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 24

El valor de la fuerza de la gravedad viene dado por:
    \( \displaystyle F_G = G\times \frac{m}{(x+R)^2} \)
Siendo G la constante de gravitación y R el radio de la Tierra.
Podemos eliminar de la anterior ecuación G teniendo en cuenta que cuando la distancia al centro de la Tierra es R la fuerza vale mg, es decir:
    \( \displaystyle mg = G\times \frac{m}{R^2}\Rightarrow G = g愛^2 \)
Y, por consiguiente, tenemos:
    \( \displaystyle F_G = \frac{m搽愛^2}{(x+R)^2} \)
Con lo que la ecuación del movimiento será:
    \( \displaystyle m愧frac{dv}{dt} = - \frac{m搽愛^2}{(x+R)^2} \Rightarrow \frac{dv}{dt} = - \frac{g愛^2}{(x+R)^2} \)
Pero se tiene:
    \( \displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}愧frac{dx}{dt} = v愧frac{dv}{dx} \)
Y la ecuación queda en la forma:
    \( \displaystyle v搞v = -\frac{g愛^2}{(x+R)^2}dx \Rightarrow \frac{1}{2}v^2 = \frac{g愛^2}{(x+R)} + C \)
Podemos eliminar la constante de integración sabiendo que se tiene v(0) = vo:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}v_o^2 = g愛 + C \Rightarrow v^2 = v_o^2 - 2g愛 + \frac{g愛^2}{(x+R)} \)
A partir de ahí, podemos decir que la velocidad de escape vendrá dada por:
    \( \displaystyle v^2 - 2g愛 \geq 0 \Rightarrow v_e^2 - 2g愛 = 0 \Rightarrow v_e = \sqrt{2g愛} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás