PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 22

El proceso de deducción del número de coordenadas generalizadas necesarias para describir la evolución del sistema es similar al visto en los ejercicios 19, 20 y 21 y, por lo tanto, no lo vamos a desarrollar en este ejemplo. Llegamos por analogía a la conclusión de que sólo es necesario un grado de libertad.

sistema mecánico con ligaduras


Tomamos el ángulo θ y expresamos el centro de gravedad, zG, en función de ella. Tomando el origen de coordenadas en 0, tenemos:
    \( z_G = y_1 + y_2\)
Y los valores de y1 e y2 son:

    \( \displaystyle y_1 = x_0\sin\alpha \quad ; \quad y_2 = \frac{l}{2}\sin\theta \)
Pero tenemos:
    \( x_0 = l\sin (90- \alpha - \theta) = l\cos (\alpha + \theta) \)
Por lo que zG valdrá:
    \( \displaystyle z_G = l\cos (\alpha + \theta)\sin \alpha + \frac{l}{2}\sin \theta \)
Por el teorema de Torricelli:
    \( \displaystyle \frac{\partial z_G}{\partial \theta} = 0 \Rightarrow -l\sin (\alpha + \theta)\sin \alpha + \frac{l}{2}\cos \theta = 0 \)
Y operando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \cos \theta = 2\sin (\alpha + \theta)\sin \alpha = 2(\sin\alpha \cos\theta + \cos \alpha\sin \theta)\sin\alpha \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \cos \theta (1 - 2\sin^2 \alpha) = 2\cos \alpha\sin\theta \sin \alpha \end{array} \)
Finalmente, dividiendo los dos miembros por sin θ podemos hacer:
    \( \displaystyle \tan \theta = \frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\cos \alpha \sin\alpha} = \cot 2\alpha \)
Y la última ecuación nos da la condición de equilibrio del sistema.
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tema escrito por: José Antonio Hervás