PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 21

El sistema está sujeto únicamente a la acción de la gravedad, por lo que, si suponemos que no hay rozamiento, las fuerzas que actúan sobre él son conservativas.

Considerando que las ligaduras son bilaterales, holónomas e ideales, podemos aplicar el teorema de Torricelli.
Vamos a empezar considerando que el sistema está formado por dos sólidos rígidos. En esa situación, necesitaríamos 12 coordenadas, pero al encontrarse en todo momento los dos cuerpos en el plano del papel, podemos eliminar 6 de ellas (eliminamos para cada varilla dos ángulos de giro y la coordenada sobre el eje perpendicular al plano del papel).

Por otra parte, como cada una de las varillas que componen el sistema cumple las mismas condiciones que las de los sistemas de los ejemplos vistos en los ejercicios 19 y 20, podemos eliminar también dos coordenadas más por cada una de las varillas (en todo instante, un punto de cada varilla está en contacto con A y B, respectivamente, y los extremos inferiores solo se mueven a lo largo de una semicircunferencia). Así pues, hemos encontrado 10 ligaduras holónomas e ideales y el sistema podría describirse con dos coordenadas generalizadas; no obstante, como ambas varillas están continuamente en contacto entre si y formando un ángulo de 90º por sus extremos inferiores, tenemos que considerar otra ligadura holónoma e ideal.

sistema con ligaduras holónomas

En definitiva, la evolución del sistema puede describirse con una sola coordenada generalizada. Tomamos el ángulo Φ y expresamos la posición del centro de gravedad del sistema en función de dicha coordenada, pues cada una de ellas cumple las mismas condiciones. En principio, tenemos:

    \( \displaystyle z_G = \frac{m_1z_1 + m_2z_2}{m_1 + m_2} \)
Y tenemos que determinar los valores de z1 y z2 a partir de la coordenada Φ . tomando el referencial (0, x, y) resulta
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    z_1 = \frac{l_1}{2}\sin \phi + R - R·\sin 2\phi \\
    \\
    z_2 = \frac{l_2}{2}\sin (90- \phi) + R - R·\sin 2\phi = \frac{l_2}{2}\cos \phi + R - R·\sin 2\phi
    \end{array} \)
Y, por tanto:
    \( \displaystyle z_G = R - R\sin 2\phi + \frac{m_1l_1\sin \phi +m_2l_2\cos \phi }{2(m_1 + m_2)} \)
Y la posición de equilibrio del sistema será:
    \( \displaystyle \frac{\partial z_G}{\partial \phi} = -2R\cos 2\phi + \frac{m_1l_1\cos \phi +m_2l_2\sin \phi }{2(m_1 + m_2)} = 0 \)
Pero tenemos ,\(\cos 2\phi = 2·\cos^2 \phi -1\) con lo que resulta:
    \( \displaystyle -2R(2\cos^2 \phi - 1) + \frac{m_1l_1\cos \phi +m_2l_2\sin \phi }{2(m_1 + m_2)} = 0 \)
Y la solución puede obtenerse resolviendo una ecuación de cuarto grado para cos Φ.
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tema escrito por: José Antonio Hervás