PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 20

Como en el ejercicio 19, el sistema sólo está sujeto a la acción de la gravedad y, por lo tanto, si suponemos que no hay rozamiento, , las fuerzas que actúan sobre él serán conservativas

Vamos a considerar cuantas ligaduras tenemos y ver de qué tipo son. Puesto que la varilla es un sólido rígido, consideraremos desde el principio seis coordenadas. Por otro lado, se supone que la varilla sólo puede girar en el plano que contiene el papel con lo cual podemos eliminar otras tres coordenadas. Finalmente, se ha de cumplir que en todo instante un punto de la varilla esté en contacto con el origen de coordenadas y que su origen inferior toque la semicircunferencia, es decir:

    \( \displaystyle - \frac{z}{y} = \tan \varphi \; ; \; z^2 + (y-R)^2 - R^2 = z^2 + y^2 - 2Ry = 0 \)
Todas las ligaduras encontradas son bilaterales, holónomas e ideales por lo que sólo necesitamos elegir una coordenada generalizada para describir la posición del sistema.

sistema mecánico con ligaduras

Tomando como coordenada generalizada el ángulo φ podemos poner:
    \( \displaystyle z_G = - \left(R\sin 2\varphi - \frac{l}{2}\sin \varphi\right) \)
Y la posición de equilibrio del sistema será:
    \( \displaystyle \frac{\partial z_G}{\partial \varphi} = 0 \Rightarrow \frac{l}{2}\cos \varphi - 2R\cos 2\varphi = 0 \)
Y sabiendo que:
    \( \cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = 2\cos^2 \varphi - 1 \)
Resulta finalmente:
    \( l\cos \varphi = 4R(2\cos^2 \varphi - 1)\Rightarrow = 8R\cos^2 \varphi - l\cos \varphi - 4R = 0 \)
De donde se obtiene con facilidad la solución del problema resolviendo la ecuación de segundo grado en la incógnita cos φ.
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tema escrito por: José Antonio Hervás