PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 18

Tomando el eje Z sobre la varilla, el momento de inercia del disco, respecto de dicho eje, vale:

    \( \displaystyle I_z = \int_0^R r^2dm \)
Si consideramos que el disco es homogéneo y tiene una densidad másica ?, podemos tomar una corona circular de radio r y anchura dr para obtener:
    \( dm = \rho2\pirdr \)
Y sustituyendo en la expresión anterior:
    \( \displaystyle I_z = \int_0^R r^2dm = \int_0^R r^2(\rho2\pirdr) = 2\pi\rho\int_0^R r^3dr = \pi\rho\frac{R^4}{2} \)
Pero se cumple:
    \( \pi\rhoR^2 = M \)
Y, por lo tanto:
    \( \displaystyle I_z =\frac{1}{2}MR^2 \)
Por otro lado, ya que el disco es simétrico respecto de cualquier eje que pase por el plano XY, se tendrá que Ix = Iy; pero, además, por ser su espesor despreciable:
    \( \displaystyle I_z = I_x + I_y \Rightarrow I_x = I_y = \frac{I_z}{2} = \frac{1}{4}MR^2 \)
Tenemos de ese modo los momentos principales de inercia del disco. Para determinar su momento de inercia respecto de la recta AB, debemos aplicar los teoremas de Poisson y de Steiner.
En primer lugar, aplicamos el teorema de Poisson para determinar el momento de inercia de una recta paralela a la recta AB y que pase por el origen. Los cosenos directores de este eje serán los mismos que los de la recta AB y, puesto que esta se encuentra situada en el plano YZ, podemos poner:
    \( \displaystyle a_1 = 0 \quad ; \quad a_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}\quad ; \quad a_3 = \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \)
De ahí que aplicando el teorema de Poisson tengamos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_0 = I_xa_1^2 + I_ya_2^2 + I_za_3^2 = \\  \\ = \frac{1}{4}MR^2\left(\frac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)^2 + \frac{1}{2}MR^2\left(\frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}}\right)^2 \end{array} \)
Y reagrupando:
    \( \displaystyle I_0 = \frac{MR^2(R^2 + 2h^2))}{4(R^2 + h^2)} \)
Donde Io es el momento de inercia de un eje que pasa por el origen y es paralelo a la recta AB.
La distancia entre estos dos ejes vale:
    \( \displaystyle d = h\sin a_2 = h\cos a_3 = \frac{hR}{\sqrt{R^2 + h^2}} \)
Y por lo tanto, considerando el teorema de Steiner, finalmente resulta:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} I = I_0 + Md^2 = \frac{MR^2(R^2 + 2h^2)}{4(R^2 + h^2)} + \frac{Mh^2R^2}{R^2 + h^2} = \\  \\ = \frac{Mr^2(R^2 + 6h^2)}{4(R^2 + h^2)} \end{array} \)
Que es el resultado buscado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás