PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 17

La fuerza que actúa sobre la partícula vendrá dada por una ecuación de la forma:

    \( \displaystyle f(r) = - \frac{k}{r^5} \)
De la expresión general de la ecuación diferencial de la órbita, podemos obtener: (ecuación repetida)
    \( \displaystyle \frac{l^2u^2}{m}\left(\frac{d^2u}{d\theta^2} + u\right) = -f\left(\frac{1}{u}\right)\quad \textrm{donde} \quad u = \frac{1}{u} \)
Sustituyendo el valor de f(1/u) resulta:
    \( \displaystyle \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{m}{l^2}ku^3 \)
Si multiplicamos todos los términos de la ecuación anterior por du/dθ podemos poner:
    \( \displaystyle \frac{d^2u}{d\theta^2}\frac{du}{d\theta} + u\frac{du}{d\theta} = \frac{m}{l^2}ku^3\frac{du}{d\theta} \)
De donde integrando nos queda:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 + \frac{1}{2}u^2\frac{du}{d\theta} = \frac{1}{4} \frac{m}{l^2}ku^4 \)
Antes de volver a integrar simplificamos y separamos variables:
    \( \displaystyle d\theta = \frac{du}{u\sqrt{(mk/2l^2)u^2 - 1}} \)
Esta integral podemos obtenerla de forma inmediata haciendo previamente algunas pequeñas transformaciones:
    \( \displaystyle \int d\theta =\int \frac{\sqrt{(mk/2l^2)}du}{\sqrt{(mk/2l^2)}u\sqrt{(mk/2l^2)u^2 - 1}} \)
Con lo que resulta:
    \( \theta = \arcsin \left[\sqrt{(mk/2l^2)}u\right] + C \)
Para obtener u en función de θ hacemos, por conveniencia, C = θ0, con lo que podemos poner:
    \( \displaystyle \sqrt{(mk/2l^2)}u = \textrm{sec }(\theta - \theta_o) = \frac{1}{\cos (\theta - \theta_o)} \)
Y como se tiene u = 1/r, finalmente, resulta:
    \( r = \sqrt{(mk/2l^2)}\cos (\theta - \theta_o) \)
Que es la ecuación, en coordenadas polares, de la curva que describe un cuerpo bajo ele efecto de la fuerza que hemos considerado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás