PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 16

La expresión general de la ecuación diferencial de una órbita es:
    \( \displaystyle \frac{l^2u^2}{m}\left(\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u\right) = - f\left(\frac{1}{u}\right)\quad \textrm{donde} u = \frac{1}{u} \)
Por lo tanto, para el primer caso, podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} u = \frac{1}{a(1 + \cos \theta)}\Rightarrow \frac{du}{d\theta} = \frac{\sin \theta}{a(1 + \cos \theta)^2} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{d^2u}{d\theta^2} = \frac{\cos \theta + 2 - \cos^2 \theta}{a(1 + \cos \theta)^3} \end{array} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle
    \begin{array}{l}
    f\left(\frac{1}{u}\right)= - \frac{l^2}{ma^2(1 + \cos \theta)^3}\left(\frac{\cos \theta + 2 - \cos^2 \theta}{a(1 + \cos \theta)^3} + \frac{1}{a(1 + \cos \theta)} \right)\Rightarrow \\
     \\
    f\left(\frac{1}{u}\right)= -\frac{l^2}{ma^2(1 + \cos \theta)^2} \frac{3}{a(1 + \cos \theta)^2} =- \frac{3l^2}{ma^3(1 + \cos \theta)^4} \Rightarrow \\  \\
    f\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{3al^2}{ma^4(1 + \cos \theta)^4} = - \frac{3al^2}{m}u^4 = - \frac{3al^2}{m}\frac{1}{r^4} \end{array}
    \)
Y, por lo tanto, la fuerza es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia al centro.
Para calcular el potencial tenemos:
    \( \displaystyle f(r) = - \frac{dV}{dr} = - \frac{3al^2}{m}\frac{1}{r^4}\Rightarrow V = - \frac{3al^2}{m}\frac{1}{r^3} \)
Para el segundo ejemplo tenemos:
    \( \displaystyle r = ae^{b\theta}\Rightarrow u = \frac{1}{ae^{b\theta}}\Rightarrow \frac{du}{d\theta} = - \frac{b}{ae^{b\theta}} \Rightarrow \frac{d^2u}{d\theta^2} =\frac{b^2}{ae^{b\theta}} \)
Y sustituyendo en la expresión general:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f\left(\frac{1}{u}\right)= - \frac{l^2}{m(a·e^{b\theta})^2}\left[\frac{b^2}{a·e^{b\theta}} + \frac{1}{a·e^{b\theta}}\right] = - \frac{l^2(b^2 + 1)}{m(a·e^{b\theta})^3} \Rightarrow \\
    \\ \\
    \Rightarrow - \frac{l^2(b^2 + 1)}{m}u^3 =- \frac{l^2(b^2 + 1)}{m}· \frac{1}{r^3}
    \end{array} \)
Con lo que hemos obtenido que la fuerza es inversamente proporcional a la tercera potencia de la distancia al centro de fuerzas.
El potencial en este caso vendrá dado por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} f(r) = -\frac{dV}{dr} = - \frac{l^2(b^2 + 1)}{m} \frac{1}{r^3} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow V = - \frac{l^2(b^2 + 1)}{m}\int \frac{dr}{r^3} = - \frac{l^2(b^2 + 1)}{m} \frac{1}{r^2} \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás