PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 13

Según la figura adjunta,

ecuación de una superficie

podemos ver que un elemento diferencial de área vale:

    \( 2\pixds = 2\pix\sqrt{dx^2 + dy^2} = 2\pix \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)
Y el área total será:
    \( \displaystyle A= 2\pi\int_1^2x \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)
Para calcular el valor mínimo de esta integral aplicamos las ecuaciones de Euler:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \quad\; f = x \sqrt{1 + \dot{y}^2} \)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} = \frac{x\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x·\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} = a \)
Donde a es una constante de integración que se determina por las condiciones iniciales del problema. De la anterior ecuación podemos hacer:
    \( \displaystyle x^2\dot{y}^2 = a^2(1 + \dot{y}^2) \Rightarrow \dot{y} = \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}} \)
Separando variables tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} dy = \frac{adx}{\sqrt{x^2 - a^2}} \Rightarrow y = \int_1^2\frac{adx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \\  \\ = a\int_1^2\frac{d(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2 - 1}} = a\textrm{arc cosh} (x/a) + b \end{array} \)
Y, finalmente, despejando la variable x:
    \( \displaystyle x = a\textrm{cosh}\frac{y-b}{a} \)
La ecuación corresponde a una curva llamada catenaria y su rotación alrededor del eje y determina una superficie mínima
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tema escrito por: José Antonio Hervás