Ejercicios de mecánica

Calcular la superficie mínima de revolución de una curva de extremos fijos (x₁, y₁) , (x₂, y₂)

Respuesta al ejercicio 13

Según la figura adjunta,



podemos ver que un elemento diferencial de área vale:

\( 2\pi·x·ds = 2\pi·x·\sqrt{dx^2 + dy^2} = 2\pi·x \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)

Y el área total será:

\( \displaystyle A= 2\pi\int_1^2x \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)

Para calcular el valor mínimo de esta integral aplicamos las ecuaciones de Euler:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \quad\; f = x \sqrt{1 + \dot{y}^2} \)

Tenemos entonces:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} = \frac{x·\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} \)

Y sustituyendo:

\( \displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{x·\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x·\dot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} = a \)

Donde a es una constante de integración que se determina por las condiciones iniciales del problema. De la anterior ecuación podemos hacer:

\( \displaystyle x^2·\dot{y}^2 = a^2(1 + \dot{y}^2) \Rightarrow \dot{y} = \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}} \)

Separando variables tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} dy = \frac{adx}{\sqrt{x^2 - a^2}} \Rightarrow y = \int_1^2\frac{adx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \\  \\ = a\int_1^2\frac{d(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2 - 1}} = a·\textrm{arc cosh} (x/a) + b \end{array} \)

Y, finalmente, despejando la variable x:

\( \displaystyle x = a·\textrm{cosh}\frac{y-b}{a} \)

La ecuación corresponde a una curva llamada catenaria y su rotación alrededor del eje y determina una superficie mínima