PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 14

Supongamos que la masa de la partícula es m y su posición viene dada por P(x, y)

cálculo de la energía cinética

Si medimos la coordenada y en sentido descendente a partir del punto 0 y elegimos como nivel de referencia una línea horizontal que pase por el punto 2, el principio de conservación de la energía nos permite poner:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} (Ep)_o + (Ec)_o = (Ep)_p + (Ec)_p = \\  \\ = mgy_o + 0 = mg(y_o -y) + \frac{1}{2}m \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 \end{array} \)
Donde ds/dt es la velocidad de la partícula.

Midiendo s a partir del origen, 0, su valor aumenta cuando la partícula se mueve y, por lo tanto, ds/dt es positiva, con lo que tendremos:
    \( \displaystyle \frac{ds}{dt} = \sqrt{2gy} \Rightarrow dt = \frac{ds}{\sqrt{2gy}} \)
Y el tiempo total empleado por la partícula para ir desde y = 0 hasta y = y0, es:
    \( \displaystyle t = \int_1^2 dt = \int_0^{y_o}\frac{ds}{\sqrt{2gy}} \)
Pero sabemos que un elemento diferencial de longitud de arco, ds, vale:
    \( \displaystyle ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)
Con lo que sustituyendo, nos queda:
    \( \displaystyle t = \int_1^2 dt = \int_0^{y_o}\sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{2gy}}dx = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{y_o}\sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{y}}dx \)
La condición necesaria y suficiente para que t sea mínimo es que se cumpla las ecuaciones de Euler, es decir:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \quad\; f = \sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{y}} \)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\sqrt{1+\dot{y}^2}}{2y^{3/2}} \quad ; \quad\frac{\partial f}{\partial \dot{y}} =\frac{\dot{y}}{\sqrt{(1+\dot{y})y}} \\ \\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) = \frac{2\ddot{y}y - \dot{y}^2(1+\dot{y}^2)}{2[(1+\dot{y}^2)y]^{3/2}} \end{array} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \frac{2\ddot{y}y - \dot{y}^2(1+\dot{y}^2)}{2[(1+\dot{y}^2)y]^{3/2}} + \frac{\sqrt{1+\dot{y}^2}}{2y^{3/2}} = 0 \)
Ecuación que se puede simplificar para obtener:
    \( 2\ddot{y}y + \dot{y}^2 + 1 = 0 \)
Puesto que no aparece explícitamente la variable x, podemos hacer:
    \( \displaystyle \ddot{y} = \frac{d\dot{y}}{dx} = \frac{d\dot{y}}{dy}\frac{dy}{dx} = \dot{y}\frac{d\dot{y}}{dy} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} 2\ddot{y}y + \dot{y}^2 + 1 = 2\dot{y}y\frac{d\dot{y}}{dy}+ \dot{y}^2 + 1 = 0 \Rightarrow \\ \\ 2\dot{y}yd\dot{y} + (1+\dot{y}^2)dy = 0 \Rightarrow \frac{2\dot{y}d\dot{y}}{1+\dot{y}^2} + \frac{dy}{y} = 0 \end{array} \)
Esta expresión podemos integrarla directamente para obtener:
    \( \ln(1+\dot{y}^2) + \ln y = K = \ln b \Rightarrow (1+\dot{y}^2)y = b \)
Y despejando \(\dot{y}\) :
    \( \displaystyle (1+\dot{y}^2)y = b \Rightarrow \dot{y}^2 = \frac{b-y}{y} \Rightarrow \dot{y} = \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{b-y}{y}} \)
Y separando variables e integrando:
    \( \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{y}{b-y}}dy \)
Para obtener la integral del segundo miembro hacemos el cambio de variable:
    \( \begin{array}{l} y = b\sin^2 \theta \Rightarrow b-y = b - b\sin^2 \theta = b\cos \theta \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow dy = 2b\sin \theta \cos \theta d\theta \end{array}\)
Y sustituyendo:

    \( \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{b\sin^2\theta }{b\cos^2\theta }}2b\sin\theta \cos \theta d\theta = 2b \int \sin^2\theta d\theta \)
Finalmente, teniendo en cuenta la igualdad:
    \( 2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta \)
Obtenemos:
    \( \displaystyle x = b \int (1 - \cos 2\theta)d \theta = \frac{1}{2}b(2\theta - \sin \theta) + c \)
Como la curva pasa por el punto x = 0 ; y = 0, se tiene c = 0 y las ecuaciones finales quedan:
    \( \displaystyle x = \frac{1}{2}b(2\theta - \sin \theta) \quad ; \quad y = \frac{1}{2}b(1 - \cos \theta) \)
Que son las ecuaciones paramétricas de una cicloide (una cicloide es la trayectoria descrita por un punto fijo sobre un círculo que rueda a lo largo de una línea dada).

El problema desarrollado se conoce como el “problema de la braquistócrona” y es famoso en la historia de las matemáticas debido a que fue el que condujo a Joham Bernouilli a la fundación formal del cálculo de variaciones.
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tema escrito por: José Antonio Hervás