PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica y dinámica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Una partícula, que parte del reposo, desliza sobre un alambre que tiene dos puntos fijos. Determinar la forma que toma el alambre para que el tiempo requerido en ir de un punto a otro sea mínimo.

Respuesta al ejercicio 14

Supongamos que la masa de la partícula es m y su posición viene dada por P(x, y)

cálculo de la energía cinética

Si medimos la coordenada y en sentido descendente a partir del punto 0 y elegimos como nivel de referencia una línea horizontal que pase por el punto 2, el principio de conservación de la energía nos permite poner:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} (Ep)_o + (Ec)_o = (Ep)_p + (Ec)_p = \\  \\ = mgy_o + 0 = mg(y_o -y) + \frac{1}{2}m \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 \end{array} \)
Donde ds/dt es la velocidad de la partícula.

Midiendo s a partir del origen, 0, su valor aumenta cuando la partícula se mueve y, por lo tanto, ds/dt es positiva, con lo que tendremos:
    \( \displaystyle \frac{ds}{dt} = \sqrt{2gy} \Rightarrow dt = \frac{ds}{\sqrt{2gy}} \)
Y el tiempo total empleado por la partícula para ir desde y = 0 hasta y = y0, es:
    \( \displaystyle t = \int_1^2 dt = \int_0^{y_o}\frac{ds}{\sqrt{2gy}} \)
Pero sabemos que un elemento diferencial de longitud de arco, ds, vale:
    \( \displaystyle ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + \dot{y}^2}dx \)
Con lo que sustituyendo, nos queda:
    \( \displaystyle t = \int_1^2 dt = \int_0^{y_o}\sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{2gy}}dx = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{y_o}\sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{y}}dx \)
La condición necesaria y suficiente para que t sea mínimo es que se cumpla las ecuaciones de Euler, es decir:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0 \quad\; f = \sqrt{\frac{1+\dot{y}^2}{y}} \)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\sqrt{1+\dot{y}^2}}{2y^{3/2}} \quad ; \quad\frac{\partial f}{\partial \dot{y}} =\frac{\dot{y}}{\sqrt{(1+\dot{y})y}} \\ \\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) = \frac{2\ddot{y}y - \dot{y}^2(1+\dot{y}^2)}{2[(1+\dot{y}^2)y]^{3/2}} \end{array} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \frac{2\ddot{y}y - \dot{y}^2(1+\dot{y}^2)}{2[(1+\dot{y}^2)y]^{3/2}} + \frac{\sqrt{1+\dot{y}^2}}{2y^{3/2}} = 0 \)
Ecuación que se puede simplificar para obtener:
    \( 2\ddot{y}y + \dot{y}^2 + 1 = 0 \)
Puesto que no aparece explícitamente la variable x, podemos hacer:
    \( \displaystyle \ddot{y} = \frac{d\dot{y}}{dx} = \frac{d\dot{y}}{dy}\frac{dy}{dx} = \dot{y}\frac{d\dot{y}}{dy} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} 2\ddot{y}y + \dot{y}^2 + 1 = 2\dot{y}y\frac{d\dot{y}}{dy}+ \dot{y}^2 + 1 = 0 \Rightarrow \\ \\ 2\dot{y}yd\dot{y} + (1+\dot{y}^2)dy = 0 \Rightarrow \frac{2\dot{y}d\dot{y}}{1+\dot{y}^2} + \frac{dy}{y} = 0 \end{array} \)
Esta expresión podemos integrarla directamente para obtener:
    \( \ln(1+\dot{y}^2) + \ln y = K = \ln b \Rightarrow (1+\dot{y}^2)y = b \)
Y despejando \(\dot{y}\) :
    \( \displaystyle (1+\dot{y}^2)y = b \Rightarrow \dot{y}^2 = \frac{b-y}{y} \Rightarrow \dot{y} = \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{b-y}{y}} \)
Y separando variables e integrando:
    \( \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{y}{b-y}}dy \)
Para obtener la integral del segundo miembro hacemos el cambio de variable:
    \( \begin{array}{l} y = b\sin^2 \theta \Rightarrow b-y = b - b\sin^2 \theta = b\cos \theta \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow dy = 2b\sin \theta \cos \theta d\theta \end{array}\)
Y sustituyendo:

    \( \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{b\sin^2\theta }{b\cos^2\theta }}2b\sin\theta \cos \theta d\theta = 2b \int \sin^2\theta d\theta \)
Finalmente, teniendo en cuenta la igualdad:
    \( 2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta \)
Obtenemos:
    \( \displaystyle x = b \int (1 - \cos 2\theta)d \theta = \frac{1}{2}b(2\theta - \sin \theta) + c \)
Como la curva pasa por el punto x = 0 ; y = 0, se tiene c = 0 y las ecuaciones finales quedan:
    \( \displaystyle x = \frac{1}{2}b(2\theta - \sin \theta) \quad ; \quad y = \frac{1}{2}b(1 - \cos \theta) \)
Que son las ecuaciones paramétricas de una cicloide (una cicloide es la trayectoria descrita por un punto fijo sobre un círculo que rueda a lo largo de una línea dada).

El problema desarrollado se conoce como el “problema de la braquistócrona” y es famoso en la historia de las matemáticas debido a que fue el que condujo a Joham Bernouilli a la fundación formal del cálculo de variaciones.
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tema escrito por: José Antonio Hervás