Ejercicios de mecánica - Respuesta 12

Tomando el origen de coordenadas en el orificio, con el eje z perpendicular al plano de la mesa, podemos emplear como coordenadas generalizadas la distancia, r, de la masa m₁ al orificio y el ángulo, φ, que forma con el eje x. También podemos emplear las coordenadas x e y de m₁, con lo cual queda descrita la posición de m₂, ya que se tiene:



Nosotros vamos a utilizar como coordenadas ρ y φ ya que se obtienen expresiones más sencillas que en el caso de coordenadas cartesianas. Estos valores empleados corresponden a un sistema de coordenadas cilíndricas, por lo que la energía cinética de cada partícula se expresará:



Para la partícula m₁ podemos eliminar puesto que dicha partícula siempre se mueve en el plano. Para la partícula m₂ sólo hemos de considerar su coordenada z, pero sabiendo que m₁ y m₂ están unidas por un hilo inextensible, podemos poner:



Así pues, la energía cinética total será:



Tomando ahora como plano de nivel cero aquel en el que se encuentra el orificio,



la energía potencial del sistema será:



Y la lagrangiana del sistema se puede poner:



De ese modo, las ecuaciones del movimiento para cada una de las coordenadas son:



Y para ρ podemos poner:



Al haber empleado coordenadas cilíndricas nos aparece un término que corresponde a una fuerza centrífuga; ello es debido a que el empleo de coordenadas curvilíneas es equivalente a estudiar el sistema respecto de un referencial no inercial.

Las ecuaciones correspondientes a φ se obtienen por:



Y la expresión para esta coordenada será



En la última expresión el miembro de la izquierda expresa la componente según el eje φ de la derivada del momento angular del sistema respecto del origen y el miembro de la derecha es el momento de las fuerzas exteriores, también según el origen.

PROBLEMAS DE CINEMÁTICA - EJERCICIOS DE MECÁNICA - PROBLEMAS DE DINÁMICA
primero - : - anterior - : - siguiente