PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 11

Podemos considerar que el movimiento se desarrolla en el plano XY. Vamos a tomar como coordenadas generalizadas para describir la posición del sistema, la distancia del triángulo al origen de coordenadas y la altura del bloque sobre el eje X.

movimiento sobre plano inclinado

Empleando estas coordenadas generalizadas, la energía cinética se expresará:
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2\right) + \frac{1}{2}(2m)\left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2\right) \)
Y haciendo las sustituciones:
    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l} x_1 = x + \frac{1}{3}a \Rightarrow \dot{x}_1 = \dot{x} \\ \\ y_1 = \frac{1}{3}a \Rightarrow \dot{y}_1 = 0 \\ \end{array} \right\}\quad \left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2\right) = \dot{x}^2 \)
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} x_2 = x + (a-y)\tan 45 = x+a-y \Rightarrow \dot{x}_2 = \dot{x} - \dot{y} \\ \\ y_2 = y \qquad \Rightarrow \qquad \dot{y}_2 = \dot{y} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \left(\dot{x}_2^2 +\dot{y}_2^2 \right)= \dot{x}^2 + 2\dot{y}^2 - 2\dot{x}\dot{y} \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \mathfrak{F} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + m(\dot{x}^2 + 2\dot{y}^2 - 2\dot{x}\dot{y})= \frac{3}{2}m\dot{x}^2 + 2m\dot{y}^2 - 2\dot{x}\dot{y} \)
Las fuerzas exteriores sobre el sistema son las del campo gravitatorio y, por tanto:
    \( \mathfrak{V} = 2mgy\)
La lagrangiana del sistema será:
    \(\begin{array}{l} \mathfrak{L = F - V} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + m(\dot{x}^2 + 2\dot{y}^2 - 2\dot{x}\dot{y})= \\  \\ \displaystyle \frac{3}{2}m\dot{x}^2 + 2m\dot{y}^2 - 2m\dot{x}\dot{y} - 2mgy \end{array} \)
Y las ecuaciones del movimiento vendrán dadas por las expresiones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{x}}\right)- \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial x} = 0 \qquad \frac{d}{dt}(3m\dot{x}- 2m\dot{y}) = 0\\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{y}}\right)- \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial y} = 0 \qquad \frac{d}{dt}(4m\dot{y}- 2m\dot{x}) + 2mg = 0 \end{array} \)
Para calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo el bloque, de la primera ecuación tenemos:
    \( \displaystyle 3\ddot{x} - 2\ddot{y} \Rightarrow \ddot{x} = \frac{3}{2}\ddot{y} \)
Y sustituyendo en la segunda ecuación:
    \( \displaystyle 4m\ddot{y} - 2m\ddot{x} + 2mg = 4m\ddot{y} - \frac{4}{3}m\ddot{y} + 2mg = 0 \Rightarrow \ddot{y} = \frac{3}{4}g \)
Finalmente, considerando que la masa ha de recorrer la distancia a:
    \( \displaystyle a = \frac{1}{2}\ddot{y}t^2 = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{8a}{3g}} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás